Determine
de modo que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar um valor positivo para
que satisfaz a seguinte equação:
A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especialmente a técnica de integração por partes. Vamos precisar aplicar essa técnica para resolver a integral e depois resolver a equação resultante para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral usando a integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos:
-
→ -
→
Aplicando a fórmula:
Integrando
:
Portanto, temos:
Passo 3
Agora, vamos avaliar a integral definida nos limites de
a
:
Vamos calcular cada termo nas extremidades:
Para
:
Sabemos que
e
, então:
Para
:
Sabemos que
e
, então:
Subtraindo os valores:
Passo 4
Observamos que, ao calcular a integral, obtemos zero, mas de acordo com o enunciado, a integral deve ser igual a
. Isso nos indica que houve um erro na avaliação das funções trigonométricas nos limites de integração.
Vamos reavaliar os valores de
e
:
Para
:
Para
:
Portanto, a diferença continua sendo zero, o que indica que precisamos reavaliar todo o processo.
Na verdade, ao aplicar a integração por partes, devemos considerar que a integral definida pode simplificar de outra forma. Vamos tentar uma abordagem diferente.
Passo 5
Vamos reconsiderar a integral:
Fazendo a substituição
,
, então
. Os novos limites ficam:
Para
,
Para
,
Substituindo na integral:
Agora, aplicamos a integração por partes com
e
:
Aplicando os limites:
Calculando para
:
Calculando para
:
Portanto:
Ainda estamos obtendo zero, o que sugere que a integral não depende de
. No entanto, como o enunciado afirma que a integral deve ser
, isso indica que não há solução para
que satisfaça a equação apresentada.
Resposta
Não existe valor de
que satisfaça a equação dada.
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Trace a curva
definida por
, indique sua orientação e calcule seu comprimento.
©
©
Determine
de modo que
Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(a) .
(a)
Calcule as integrais definidas abaixo.
(d) .
(d)