Determine b>0 de modo que
integral7 pi2 b^9 pi2 b x sen(b x) d x=281

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar um valor positivo para integral7 pi2 b^9 pi2 b x cdot sin(bx) , dx = 281 que satisfaz a seguinte equação:
A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especialmente a técnica de integração por partes. Vamos precisar aplicar essa técnica para resolver a integral e depois resolver a equação resultante para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral usando a integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
  • integral x cdot sin(bx) , dx = -xb cos(bx) + 1b integral cos(bx) , dx  →  integral cos(bx) , dx = 1b sin(bx)
  • integral x cdot sin(bx) , dx = -xb cos(bx) + 1b^2 sin(bx) + C  → 
Aplicando a fórmula:
Integrando :
Portanto, temos:

Passo 3

Agora, vamos avaliar a integral definida nos limites de [ -xb cos(bx) + 1b^2 sin(bx) ]7 pi2 b^9 pi2 b a -9 pi2 bb cos(b cdot 9 pi2 b) + 1b^2 sin(b cdot 9 pi2 b) = -9 pi2 b^2 cos(9 pi2) + 1b^2 sin(9 pi2) :
-0 + 1b^2 cdot 1 = 1b^2
Vamos calcular cada termo nas extremidades:
Para -7 pi2 bb cos(b cdot 7 pi2 b) + 1b^2 sin(b cdot 7 pi2 b) = -7 pi2 b^2 cos(7 pi2) + 1b^2 sin(7 pi2) :
-0 + 1b^2 cdot 1 = 1b^2
Sabemos que 1b^2 - 1b^2 = 0 e , então:
Para :
Sabemos que e , então:
Subtraindo os valores:

Passo 4

Observamos que, ao calcular a integral, obtemos zero, mas de acordo com o enunciado, a integral deve ser igual a sin(9 pi2) = sin(4pi + pi2) = sin(pi2) = 1 . Isso nos indica que houve um erro na avaliação das funções trigonométricas nos limites de integração.
Vamos reavaliar os valores de sin(7 pi2) = sin(3pi + pi2) = sin(pi2) = 1 e :
Para :
Para :
Portanto, a diferença continua sendo zero, o que indica que precisamos reavaliar todo o processo.
Na verdade, ao aplicar a integração por partes, devemos considerar que a integral definida pode simplificar de outra forma. Vamos tentar uma abordagem diferente.

Passo 5

Vamos reconsiderar a integral:
integral7 pi2 b^9 pi2 b x cdot sin(bx) , dx
Fazendo a substituição integral7 pi2^9 pi2 ub cdot sin(u) cdot dub = 1b^2 integral7 pi2^9 pi2 u sin(u) , du , integral u sin(u) , du = -u cos(u) + integral cos(u) , du = -u cos(u) + sin(u) , então 1b^2 [ -u cos(u) + sin(u) ]7 pi2^9 pi2 . Os novos limites ficam:
Para -9 pi2 cos(9 pi2) + sin(9 pi2) = -9 pi2 cdot 0 + 1 = 1 , -7 pi2 cos(7 pi2) + sin(7 pi2) = -7 pi2 cdot 0 + 1 = 1
Para 1b^2 (1 - 1) = 0 ,
Substituindo na integral:
Agora, aplicamos a integração por partes com e :
Aplicando os limites:
Calculando para :
Calculando para :
Portanto:
Ainda estamos obtendo zero, o que sugere que a integral não depende de . No entanto, como o enunciado afirma que a integral deve ser , isso indica que não há solução para que satisfaça a equação apresentada.

Resposta

Não existe valor de que satisfaça a equação dada.

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