Determine de modo que

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar um valor positivo para que satisfaz a seguinte equação:
A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especialmente a técnica de integração por partes. Vamos precisar aplicar essa técnica para resolver a integral e depois resolver a equação resultante para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral usando a integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos:
  •  → 
  •  → 
Aplicando a fórmula:
Integrando :
Portanto, temos:

Passo 3

Agora, vamos avaliar a integral definida nos limites de a :
Vamos calcular cada termo nas extremidades:
Para :
Sabemos que e , então:
Para :
Sabemos que e , então:
Subtraindo os valores:

Passo 4

Observamos que, ao calcular a integral, obtemos zero, mas de acordo com o enunciado, a integral deve ser igual a . Isso nos indica que houve um erro na avaliação das funções trigonométricas nos limites de integração.
Vamos reavaliar os valores de e :
Para :
Para :
Portanto, a diferença continua sendo zero, o que indica que precisamos reavaliar todo o processo.
Na verdade, ao aplicar a integração por partes, devemos considerar que a integral definida pode simplificar de outra forma. Vamos tentar uma abordagem diferente.

Passo 5

Vamos reconsiderar a integral:
Fazendo a substituição , , então . Os novos limites ficam:
Para ,
Para ,
Substituindo na integral:
Agora, aplicamos a integração por partes com e :
Aplicando os limites:
Calculando para :
Calculando para :
Portanto:
Ainda estamos obtendo zero, o que sugere que a integral não depende de . No entanto, como o enunciado afirma que a integral deve ser , isso indica que não há solução para que satisfaça a equação apresentada.

Resposta

Não existe valor de que satisfaça a equação dada.

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Trace a curva definida por , indique sua orientação e calcule seu comprimento.
©
Determine de modo que
Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(a) .
Calcule as integrais definidas abaixo.
(d) .