Calcule as integrais definidas abaixo.
(f) integral0^pi / 4 cos (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais na matemática, especificamente usando técnicas de integração básicas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções trigonométricas, como o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de em relação a é , onde é uma constante. Isso é uma aplicação direta da regra de integração para funções trigonométricas.

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da integral é integral cos(2x) , dx = 12 sin(2x) + C , onde . Então, aplicando a regra que mencionamos:
Aqui, é a constante de integração, que não precisamos considerar quando estamos calculando uma integral definida.

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites da integral definida, ou seja, avaliar a antiderivada nos pontos 12 sin(2x) |0^pi/4 = 12 sin(2 cdot pi4) - 12 sin(0) e :

Passo 5

Simplificando os valores dentro do seno:
2 cdot pi4 = pi2
E sabemos que e .

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão:
12 cdot 1 - 12 cdot 0 = 12 - 0 = 12

Resposta

O valor da integral definida é .

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