Determine b in R de modo que
integrale^-3^1 ln ^2 x d x=2-b e^-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o valor de que faz com que a integral de de até 1 seja igual a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração por partes, que é uma técnica útil quando temos produtos de funções, como no caso de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa integrar . A integral de uma função nos dá a área sob a curva dessa função entre dois pontos, no caso, de até 1. A função é o logaritmo natural de , e significa que estamos elevando esse logaritmo ao quadrado.

Passo 3

Para resolver a integral integral u , dv = uv - integral v , du , vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa função serão e . Uma boa escolha é deixar e . Isso porque derivar simplifica a expressão, e integrar é direto.

Passo 4

Vamos calcular u = ln^2 x du = 2 ln x cdot 1x dx = 2 ln xx dx dv = dx v = x e :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral ln^2 x , dx = uv - integral v , du = x ln^2 x - integral x cdot 2 ln xx dx = x ln^2 x - 2 integral ln x , dx

Passo 6

Precisamos agora calcular u = ln x du = 1x dx dv = dx v = x . Usando novamente integração por partes, deixamos integral ln x , dx = x ln x - integral x cdot 1x dx = x ln x - integral 1 , dx = x ln x - x + C e :
Aplicando a fórmula:

Passo 7

Voltando à integral original:
integral ln^2 x , dx = x ln^2 x - 2 ( x ln x - x ) + C = x ln^2 x - 2x ln x + 2x + C

Passo 8

Agora, vamos avaliar essa integral definida de [ x ln^2 x - 2x ln x + 2x ]e^-3^1 = (1 cdot ln^2 1 - 2 cdot 1 cdot ln 1 + 2 cdot 1) - (e^-3 ln^2 e^-3 - 2 e^-3 ln e^-3 + 2 e^-3) até 1:
= (0 - 0 + 2) - (e^-3 cdot 9 - 2 e^-3 cdot (-3) + 2 e^-3) = 2 - (9 e^-3 + 6 e^-3 + 2 e^-3) = 2 - 17 e^-3
Sabemos que e . Substituindo:

Resposta

Portanto, .

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