Determine de modo que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o valor de que faz com que a integral de de até 1 seja igual a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração por partes, que é uma técnica útil quando temos produtos de funções, como no caso de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa integrar . A integral de uma função nos dá a área sob a curva dessa função entre dois pontos, no caso, de até 1. A função é o logaritmo natural de , e significa que estamos elevando esse logaritmo ao quadrado.

Passo 3

Para resolver a integral , vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa função serão e . Uma boa escolha é deixar e . Isso porque derivar simplifica a expressão, e integrar é direto.

Passo 4

Vamos calcular e :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:

Passo 6

Precisamos agora calcular . Usando novamente integração por partes, deixamos e :
Aplicando a fórmula:

Passo 7

Voltando à integral original:

Passo 8

Agora, vamos avaliar essa integral definida de até 1:
Sabemos que e . Substituindo:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Trace a curva definida por , indique sua orientação e calcule seu comprimento.
(a)
Calcule as integrais definidas abaixo.
(g)
Trace a curva definida por , indique sua orientação e calcule seu comprimento.
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Determine de modo que