Determine
de modo que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o valor de
que faz com que a integral de
de
até 1 seja igual a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração por partes, que é uma técnica útil quando temos produtos de funções, como no caso de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa integrar
. A integral de uma função nos dá a área sob a curva dessa função entre dois pontos, no caso, de
até 1. A função
é o logaritmo natural de
, e
significa que estamos elevando esse logaritmo ao quadrado.
Passo 3
Para resolver a integral
, vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa função serão
e
. Uma boa escolha é deixar
e
. Isso porque derivar
simplifica a expressão, e integrar
é direto.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Passo 6
Precisamos agora calcular
. Usando novamente integração por partes, deixamos
e
:
Aplicando a fórmula:
Passo 7
Voltando à integral original:
Passo 8
Agora, vamos avaliar essa integral definida de
até 1:
Sabemos que
e
. Substituindo:
Resposta
Portanto,
.
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Trace a curva
definida por
, indique sua orientação e calcule seu comprimento.
(a)
(a)
Calcule as integrais definidas abaixo.
(g)
(g)
Trace a curva
definida por
, indique sua orientação e calcule seu comprimento.
©
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Determine
de modo que