Calcule as integrais definidas abaixo.
(h) integral2^3 1(1-x)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Integral, especificamente com a técnica de integração por substituição. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções que têm uma expressão dentro de um expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos . Podemos reescrever isso como para facilitar a aplicação das regras de integração.

Passo 3

Agora, vamos usar a regra da potência para integrar funções do tipo integral (ax + b)^n , dx = (ax + b)^n+1a(n+1) + C . A regra geral é:
onde e são constantes, , e é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa integral, identificamos:
  • (1 - x)^-3 + 1-1(-3 + 1) = (1 - x)^-22 (porque temos , que é )
Então, a antiderivada de é:

Passo 5

Agora, vamos escrever a antiderivada completa:
integral 1(1 - x)^3 , dx = (1 - x)^-22 + C

Passo 6

Como estamos lidando com uma integral definida, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 2 a 3:
[ (1 - x)^-22 ]2^3 = (1 - 3)^-22 - (1 - 2)^-22

Passo 7

Calculando cada termo:
Para (1 - 3)^-2 = (-2)^-2 = 14 :
(1 - 2)^-2 = (-1)^-2 = 1
Para :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão:
1/42 - 12 = 18 - 12 = 18 - 48 = -38

Resposta

A integral definida é igual a .

Exercícios relacionados