A prefeitura de determinada localidade decidiu mudar a taxa de fluorização da água que os habitantes usam. No reservatório local, que possui
metros cúbicos de água, há
de flúor. O consumo médio de água na cidade é de 3000 metros cúbicos por dia e a água utilizada é reposta com fluorização de
gramas de flúor por metros cúbicos. (b) Determine o que ocorre com a concentração de flúor na ágia quanto
?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá falando. A prefeitura quer mudar a quantidade de flúor na água da cidade. A gente tem um reservatório com 3000 mil metros cúbicos de água e lá tem 2000 kg de flúor. A cidade usa, em média, 3000 metros cúbicos de água por dia, e cada metro cúbico que entra na água nova tem 100 gramas de flúor. A pergunta é: o que acontece com a concentração de flúor na água quando o tempo tende ao infinito?
Pra resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente equações diferenciais para modelar como a quantidade de flúor muda com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que sabemos:
- Volume do reservatório: 3000 metros cúbicos
- Quantidade inicial de flúor: 2000 kg = 2.000.000 gramas
- Consumo diário de água: 3000 metros cúbicos
- Flúor adicionado por metro cúbico: 100 gramas
Vamos chamar de
a quantidade de flúor no reservatório no tempo
.
Passo 3
Agora, vamos entender como
muda ao longo do tempo. Todo dia, 3000 metros cúbicos de água são retirados e 3000 metros cúbicos novos com 100 gramas de flúor por metro cúbico entram.
A quantidade de flúor que sai por dia está relacionada com a concentração atual no reservatório. A concentração é
gramas por metro cúbico. Então, a quantidade de flúor que sai por dia é:
Passo 4
A quantidade de flúor que entra por dia é:
Passo 5
Agora, montamos a equação que descreve a taxa de variação de
:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial linear simples. Para encontrar o comportamento quando
, buscamos o equilíbrio, onde a taxa de variação é zero:
Passo 7
Então, no equilíbrio, a quantidade de flúor no reservatório será de 300000 gramas. Para achar a concentração, dividimos pela quantidade de água:
Resposta
Quando
, a concentração de flúor na água estabiliza-se em 100 gramas por metro cúbico.