A prefeitura de determinada localidade decidiu mudar a taxa de fluorização da água que os habitantes usam. No reservatório local, que possui 300 mil metros cúbicos de água, há 2000 kg de flúor. O consumo médio de água na cidade é de 3000 metros cúbicos por dia e a água utilizada é reposta com fluorização de 100 gramas de flúor por metros cúbicos. (b) Determine o que ocorre com a concentração de flúor na ágia quanto t -> +infinito ?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá falando. A prefeitura quer mudar a quantidade de flúor na água da cidade. A gente tem um reservatório com 3000 mil metros cúbicos de água e lá tem 2000 kg de flúor. A cidade usa, em média, 3000 metros cúbicos de água por dia, e cada metro cúbico que entra na água nova tem 100 gramas de flúor. A pergunta é: o que acontece com a concentração de flúor na água quando o tempo tende ao infinito?
Pra resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente equações diferenciais para modelar como a quantidade de flúor muda com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que sabemos:
  • Volume do reservatório: 3000 metros cúbicos
  • Quantidade inicial de flúor: 2000 kg = 2.000.000 gramas
  • Consumo diário de água: 3000 metros cúbicos
  • Flúor adicionado por metro cúbico: 100 gramas
Vamos chamar de a quantidade de flúor no reservatório no tempo .

Passo 3

Agora, vamos entender como muda ao longo do tempo. Todo dia, 3000 metros cúbicos de água são retirados e 3000 metros cúbicos novos com 100 gramas de flúor por metro cúbico entram.
A quantidade de flúor que sai por dia está relacionada com a concentração atual no reservatório. A concentração é gramas por metro cúbico. Então, a quantidade de flúor que sai por dia é:
í

Passo 4

A quantidade de flúor que entra por dia é:

Passo 5

Agora, montamos a equação que descreve a taxa de variação de :
í

Passo 6

Essa é uma equação diferencial linear simples. Para encontrar o comportamento quando , buscamos o equilíbrio, onde a taxa de variação é zero:

Passo 7

Então, no equilíbrio, a quantidade de flúor no reservatório será de 300000 gramas. Para achar a concentração, dividimos pela quantidade de água:
çãú

Resposta

Quando , a concentração de flúor na água estabiliza-se em 100 gramas por metro cúbico.

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