Calcule as integrais definidas abaixo.
(i) integral-3 / 2^-1(2 x+3)^10 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral definida: . Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente integrais definidas. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a técnica de substituição (também conhecida como troca de variável) para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integração. Observe que dentro da integral temos . Aqui, a expressão é uma boa candidata para substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição dudx = 2 implies du = 2 dx implies dx = du2 . Agora, precisamos encontrar , que é a derivada de em relação a :
Isso nos ajuda a substituir tudo na integral original.

Passo 4

Além disso, precisamos ajustar os limites de integração para a nova variável u = 2 (-32) + 3 = -3 + 3 = 0 :
  • Quando u = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 :
  • Quando :
Então, os novos limites de integração são de a .

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de integral-3/2^-1(2x+3)^10 dx = integral0^1 u^10 cdot du2 = 12 integral0^1 u^10 du e :
Isso simplifica a integral para uma forma mais fácil de calcular.

Passo 6

Agora, vamos integrar 12 integral0^1 u^10 du = 12 [ u^1111 ]0^1 = 12 ( 1^1111 - 0^1111 ) = 12 ( 111 - 0 ) = 122 em relação a :

Resposta

A integral é igual a .

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