Encontre as trajetórias ortogonais ás seguintes famílias de curvas
, esboços são bem vindos:
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as trajetórias ortogonais à família de curvas dada por
. Isso está relacionado a geometria analítica e equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender o que são trajetórias ortogonais e como encontrar suas equações a partir de uma família de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a família de curvas
. Essa é a equação de um círculo com raio
e centro na origem. Cada valor de
corresponde a um círculo diferente.
Passo 3
Agora, para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos encontrar curvas que se cruzam com esses círculos formando ângulos retos (90 graus). Matematicamente, isso significa que as derivadas das duas curvas devem ser negativas recíprocas uma da outra no ponto de interseção.
Passo 4
Vamos encontrar a derivada da família de círculos. Diferenciando
em relação a
:
Isolando
:
Passo 5
Como as trajetórias ortogonais têm derivadas negativas recíprocas, a derivada das trajetórias ortogonais será:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados:
Onde
é uma nova constante.
Resposta
As trajetórias ortogonais à família de círculos
são linhas retas da forma
, onde
é uma constante real.
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