Vamos começar entendendo o que precisamos fazer. A questão pede para calcular a integral definida de de 0 até 2. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, onde usamos integrais para encontrar áreas sob curvas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica o cálculo de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a identidade trigonométrica que transforma em uma expressão mais fácil de integrar. A identidade é:
Essa fórmula nos ajuda a quebrar o termo complicado em partes mais simples.
Passo 3
Com a identidade, substituímos na integral:
Agora, a integral fica mais fácil de calcular.
Passo 4
Vamos separar a integral em duas partes:
Isso facilita a integração, pois cada parte pode ser resolvida individualmente.
Passo 5
Agora, integramos cada termo separadamente.
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:
Passo 6
Aplicamos os limites de integração de 0 a 2 em cada expressão.
Primeira parte:
Segunda parte:
sin(2x)4 |0^2 = sin(4)4 - sin(0)4 = sin(4)4
Passo 7
Finalmente, juntamos os resultados das duas integrais: