Calcule as integrais definidas abaixo: integral0^42 sen^2 x d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que precisamos fazer. A questão pede para calcular a integral definida de de 0 até 2. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, onde usamos integrais para encontrar áreas sob curvas. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que simplifica o cálculo de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a identidade trigonométrica que transforma sin^2 x = 1 - cos(2x)2 em uma expressão mais fácil de integrar. A identidade é:
Essa fórmula nos ajuda a quebrar o termo complicado em partes mais simples.

Passo 3

Com a identidade, substituímos integral0^2 sin^2 x , dx = integral0^2 1 - cos(2x)2 , dx na integral:
Agora, a integral fica mais fácil de calcular.

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
integral0^2 12 , dx - integral0^2 cos(2x)2 , dx
Isso facilita a integração, pois cada parte pode ser resolvida individualmente.

Passo 5

Agora, integramos cada termo separadamente.
Para a primeira integral:
integral 12 , dx = x2
Para a segunda integral:
integral cos(2x)2 , dx = sin(2x)4

Passo 6

Aplicamos os limites de integração de 0 a 2 em cada expressão.
Primeira parte:
x2 |0^2 = 22 - 02 = 1
Segunda parte:
sin(2x)4 |0^2 = sin(4)4 - sin(0)4 = sin(4)4

Passo 7

Finalmente, juntamos os resultados das duas integrais:
1 - sin(4)4

Resposta

A integral definida é .

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