Nos exercicios 13-16, determine y' (a) aplicando a regra do produto e (b) multiplicando os fatores para produzir uma soma de termos mais simples para derivar. y = (x - 1)(x^2 + x + 1)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar da função de duas maneiras diferentes. O conteúdo que vamos utilizar envolve derivadas, especificamente a Regra do Produto e a derivação de polinômios. Precisaremos entender como aplicar a Regra do Produto e como simplificar a expressão antes de derivar.

Passo 2

Parte (a): Aplicando a Regra do Produto
A Regra do Produto é usada quando queremos derivar uma função que é o produto de duas outras funções. Se temos , então a derivada é dada por:
No nosso caso, vamos identificar e :
Agora, vamos encontrar as derivadas de e :
Aplicando a Regra do Produto:

Passo 3

Parte (b): Multiplicando os Fatores para Simplificar Antes de Derivar
Outra maneira de derivar é primeiro multiplicar os dois fatores para simplificar a expressão e depois derivar termo a termo. Vamos multiplicar por :
Primeiro, distribuímos e sobre cada termo dentro do segundo parêntese:
Simplificando:
Os termos e se cancelam, assim como e :
Agora, podemos derivar facilmente:

Resposta

A derivada de é:

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Nos exercicios 13-16, determine y' (a) aplicando a regra do produto e (b) multiplicando os fatores para produzir uma soma de termos mais simples para derivar. y = (x + 1/x)(x - 1/x + 1)
(Equação Separável) cos^2(y) dx + cos^2(x) dy = 0.