Calcule as integrais definidas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Aqui estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente a tangente (
) e a secante elevada a uma potência fracionária (
). Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que é uma forma de simplificar a integral tornando-a mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral de uma maneira que facilite a substituição. Sabemos que
e
. Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos escolher
. Assim, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso nos permite reescrever a integral em termos de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa nova integral em termos de
. A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar porque estamos lidando com integrais definidas.
Passo 5
Agora, vamos voltar à variável original
substituindo
:
Agora, precisamos avaliar essa expressão entre os limites de
e
.
Passo 6
Aplicando os limites de integração:
Para
:
Para
:
Resposta
Subtraindo os valores obtidos nos limites, temos:
Então, o valor da integral definida é
.