Calcule as integrais definidas abaixo: integral0^pi3 tg x cdot sec ^32 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui estamos trabalhando com funções trigonométricas, especificamente a tangente ( ) e a secante elevada a uma potência fracionária ( ). Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que é uma forma de simplificar a integral tornando-a mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de uma maneira que facilite a substituição. Sabemos que integral0^pi3 sin xcos x cdot (1cos x)^32 , dx = integral0^pi3 sin xcos^52 x , dx e . Então, podemos reescrever a integral da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos escolher du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx . Assim, precisamos calcular a derivada de integral sin xcos^52 x , dx = -integral 1u^52 , du em relação a :
Isso nos permite reescrever a integral em termos de :

Passo 4

Agora, vamos calcular essa nova integral em termos de -integral u^-52 , du = -( u^-32-32 ) + C = 23 u^-32 + C . A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar porque estamos lidando com integrais definidas.

Passo 5

Agora, vamos voltar à variável original 23 u^-32 = 23 cdot 1cos^32 x substituindo :
Agora, precisamos avaliar essa expressão entre os limites de e .

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
Para 23 cdot 1cos^32 (pi3) = 23 cdot 1(12)^32 = 23 cdot 1raiz1/8 = 23 cdot 2raiz2 = 4raiz23 :
Para 23 cdot 1cos^32 (0) = 23 cdot 11^32 = 23 :

Resposta

Subtraindo os valores obtidos nos limites, temos:
4raiz23 - 23 = 4raiz2 - 23
Então, o valor da integral definida é .

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