Calcule as integrais indefinidas pelo método de integração por partes: integral ln (2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida de ln(2x) em relação a x, usando o método de integração por partes. A matéria que estamos trabalhando aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar duas funções dentro da integral que vamos chamar de u e dv.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Essa fórmula nos ajuda a transformar uma integral complicada em outras mais simples.

Passo 3

Vamos escolher:
  • u = ln(2x)
  • dv = dx
Agora, precisamos encontrar du e v. Para isso, vamos derivar u e integrar dv.

Passo 4

Calculando du:
u = ln(2x) du = ddx ln(2x) , dx = 22x , dx = 1x , dx
Calculando v:
dv = dx v = integral dx = x

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral ln(2x) , dx = uv - integral v , du = x cdot ln(2x) - integral x cdot 1x , dx = x ln(2x) - integral 1 , dx

Passo 6

Vamos simplificar a integral restante:
integral 1 , dx = x
Então, substituindo de volta:
x ln(2x) - x

Passo 7

Finalmente, adicionamos a constante de integração C para completar a solução geral da integral indefinida.

Resposta

integral ln(2x) , dx = x ln(2x) - x + C

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