Calcule as integrais definidas abaixo.
integral0^1(x^4+3 x^3+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Estamos trabalhando com o cálculo de integrais definidas, que nos ajuda a encontrar a área sob a curva de uma função entre dois pontos. Para resolver isso, vamos precisar integrar cada termo da expressão separadamente e depois aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma soma é igual à soma das integrais. Então, podemos separar a integral em três partes:
integral0^1 x^4 dx + integral0^1 3x^3 dx + integral0^1 1 dx
Isso facilita o cálculo, já que trabalharemos com cada termo individualmente.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo:
  1. Para integral x^4 dx = x^55 , usamos a regra de potência para integrais, que diz que 3 integral x^3 dx = 3 cdot x^44 = 3x^44 , onde integral 1 dx = x é a constante de integração.
  2. Para , podemos tirar o 3 da integral:
  3. Para , sabemos que a integral de 1 em relação a é simplesmente :

Passo 4

Agora que temos as integrais indefinidas, vamos aplicar os limites de 0 a 1 em cada uma delas:

Passo 5

Agora, somamos os resultados obtidos:
15 + 34 + 1
Para somar essas frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 20:
420 + 1520 + 2020 = 3920

Resposta

O valor da integral definida é .

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