Calcule as integrais definidas abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Estamos trabalhando com o cálculo de integrais definidas, que nos ajuda a encontrar a área sob a curva de uma função entre dois pontos. Para resolver isso, vamos precisar integrar cada termo da expressão separadamente e depois aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma soma é igual à soma das integrais. Então, podemos separar a integral em três partes:
Isso facilita o cálculo, já que trabalharemos com cada termo individualmente.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo:
  1. Para , usamos a regra de potência para integrais, que diz que , onde é a constante de integração.
  2. Para , podemos tirar o 3 da integral:
  3. Para , sabemos que a integral de 1 em relação a é simplesmente :

Passo 4

Agora que temos as integrais indefinidas, vamos aplicar os limites de 0 a 1 em cada uma delas:

Passo 5

Agora, somamos os resultados obtidos:
Para somar essas frações, vamos encontrar um denominador comum, que é 20:

Resposta

O valor da integral definida é .

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Determine o domínio da série dada por:
Considere as séries de números reais tais que . Além disso, suponha que existe uma função contínua, positiva e decrescente tal que e é convergente. Prove que: a série é convergente.
Calcule as integrais definidas abaixo.
Encontre o valor de
, para