Calcule as integrais definidas abaixo.
integral1^8(x^-2 / 3+1x^2) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral definida de no intervalo de 1 a 8. Vamos usar as regras de integração para potências de para resolver isso.

Passo 2

Vamos separar a integral em duas partes, já que a integral da soma é a soma das integrais. Assim:
integral1^8 x^-2/3 , dx + integral1^8 1x^2 , dx

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembrando que para integrar integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C , a integral é:
integral x^-2/3 , dx = x^-2/3 +1-2/3 +1 = x^1/31/3 = 3x^1/3
Aplicando isso a cada termo:
Para integral x^-2 , dx = x^-2 +1-2 +1 = x^-1-1 = -x^-1 = -1x :
Para :

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 8 para cada antiderivada:
Para 3(8)^1/3 - 3(1)^1/3 = 3(2) - 3(1) = 6 - 3 = 3 :
-18 - (-11) = -18 + 1 = 78
Porque e .
Para :

Passo 5

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
3 + 78 = 248 + 78 = 318

Resposta

O valor da integral definida é .

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