Encontre o valor de
integral0^5 f(x) d x, para f(x)= 3, & se x<3, x, & se x >= 3 ;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o valor da integral definida de f(x) = 3, & se x < 3, x, & se x >= 3 no intervalo de 0 a 5, onde a função é definida por partes:
Para resolver isso, vamos precisar dividir a integral no ponto onde a função muda de definição, que é em , e então calcular cada parte separadamente usando as regras de integração de funções constantes e lineares.

Passo 2

Vamos dividir a integral em duas partes, de 0 a 3 e de 3 a 5:
integral0^5 f(x) , dx = integral0^3 3 , dx + integral3^5 x , dx
Aqui, estamos usando a propriedade de que a integral de uma função definida por partes pode ser escrita como a soma das integrais de cada parte.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a primeira integral integral 3 , dx = 3x + C .
A integral de uma constante 3x gr|0^3 = 3 times 3 - 3 times 0 = 9 - 0 = 9 em relação a é . Então:
Aplicando os limites de 0 a 3:
Então, a primeira integral vale 9.

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda integral integral x , dx = 12x^2 + C .
A integral de 12x^2 gr|3^5 = 12(5)^2 - 12(3)^2 = 252 - 92 = 162 = 8 em relação a é . Então:
Aplicando os limites de 3 a 5:
Então, a segunda integral vale 8.

Resposta

Somando as duas partes, temos:
integral0^5 f(x) , dx = 9 + 8 = 17
Portanto, o valor da integral é 17.

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