Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o valor da integral definida de no intervalo de 0 a 5, onde a função é definida por partes:
Para resolver isso, vamos precisar dividir a integral no ponto onde a função muda de definição, que é em , e então calcular cada parte separadamente usando as regras de integração de funções constantes e lineares.
Passo 2
Vamos dividir a integral em duas partes, de 0 a 3 e de 3 a 5:
Aqui, estamos usando a propriedade de que a integral de uma função definida por partes pode ser escrita como a soma das integrais de cada parte.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular a primeira integral .
A integral de uma constante em relação a é . Então:
Aplicando os limites de 0 a 3:
Então, a primeira integral vale 9.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda integral integral x , dx = 12x^2 + C .
A integral de 12x^2 gr|3^5 = 12(5)^2 - 12(3)^2 = 252 - 92 = 162 = 8 em relação a é . Então: