Considere as séries de números reais tais que . Além disso, suponha que existe uma função contínua, positiva e decrescente tal que e é convergente. Prove que: a série é convergente.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos apresenta duas séries de números reais, e , onde cada termo é menor ou igual a (ou seja, ). Além disso, temos uma função que é contínua, positiva, decrescente, e que se comporta de forma que para todo . Sabemos também que o limite de , quando tende ao infinito, é zero, e que a integral converge. Nosso objetivo aqui é provar que a série também é convergente. Para isso, vamos usar conceitos de comparação de séries e testes de convergência envolvendo integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender alguns conceitos básicos. Uma série convergente é aquela em que a soma dos termos até o infinito resulta em um número finito. Para testar a convergência de uma série, podemos usar diferentes métodos, como o teste da comparação ou o teste integral.
No nosso caso, temos duas séries, e sabemos que cada termo da série é menor ou igual ao correspondente da série . Além disso, temos uma função que nos ajuda a relacionar essas séries com uma integral.

Passo 3

Vamos lembrar do teste da comparação para séries. Esse teste diz que se temos duas séries e com para todo , e se a série é convergente, então a série também é convergente.
No entanto, no nosso caso, não sabemos diretamente se é convergente, mas sabemos que a integral converge. Por isso, vamos usar a relação entre séries e integrais para avançar na prova.

Passo 4

Vamos aplicar o teste integral para a série . Esse teste afirma que se é uma função contínua, positiva e decrescente para , então a série , onde , terá o mesmo comportamento de convergência que a integral .
Como a integral é convergente, concluímos que a série também é convergente.

Passo 5

Agora que sabemos que é convergente, podemos voltar ao teste da comparação. Como para todo , e a série é convergente, pelo teste da comparação, a série também deve ser convergente.

Resposta

Portanto, a série é convergente.

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Seja uma sequência de números reais positivos tal que . Mostre que a série é convergente?
Considere as séries de números reais tais que . Além disso, suponha que existe uma função contínua, positiva e decrescente tal que e é convergente. Prove que: a série é convergente.
Determine o domínio da série dada por:
Calcule as integrais definidas abaixo.