Considere as séries de números reais
tais que
. Além disso, suponha que existe uma função
contínua, positiva e decrescente tal que
e
é convergente. Prove que: a série
é convergente.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos apresenta duas séries de números reais,
e
, onde cada termo
é menor ou igual a
(ou seja,
). Além disso, temos uma função
que é contínua, positiva, decrescente, e que se comporta de forma que
para todo
. Sabemos também que o limite de
, quando
tende ao infinito, é zero, e que a integral
converge. Nosso objetivo aqui é provar que a série
também é convergente. Para isso, vamos usar conceitos de comparação de séries e testes de convergência envolvendo integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender alguns conceitos básicos. Uma série convergente é aquela em que a soma dos termos até o infinito resulta em um número finito. Para testar a convergência de uma série, podemos usar diferentes métodos, como o teste da comparação ou o teste integral.
No nosso caso, temos duas séries, e sabemos que cada termo da série
é menor ou igual ao correspondente da série
. Além disso, temos uma função
que nos ajuda a relacionar essas séries com uma integral.
Passo 3
Vamos lembrar do teste da comparação para séries. Esse teste diz que se temos duas séries
e
com
para todo
, e se a série
é convergente, então a série
também é convergente.
No entanto, no nosso caso, não sabemos diretamente se
é convergente, mas sabemos que a integral
converge. Por isso, vamos usar a relação entre séries e integrais para avançar na prova.
Passo 4
Vamos aplicar o teste integral para a série
. Esse teste afirma que se
é uma função contínua, positiva e decrescente para
, então a série
, onde
, terá o mesmo comportamento de convergência que a integral
.
Como a integral
é convergente, concluímos que a série
também é convergente.
Passo 5
Agora que sabemos que
é convergente, podemos voltar ao teste da comparação. Como
para todo
, e a série
é convergente, pelo teste da comparação, a série
também deve ser convergente.
Resposta
Portanto, a série
é convergente.
Exercícios relacionados
Seja uma sequência de números reais positivos
tal que
. Mostre que a série
é convergente?
Considere as séries de números reais
tais que
. Além disso, suponha que existe uma função
contínua, positiva e decrescente tal que
e
é convergente. Prove que: a série
é convergente.
Determine o domínio da série dada por:
Calcule as integrais definidas abaixo.