Determine o domínio da série dada por:

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Precisamos encontrar o domínio de convergência da série . Isso significa descobrir para quais valores de a série vai somar a um número finito. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para verificar a convergência de séries envolvendo fatoriais e potências.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o Teste da Razão. Esse teste nos diz para calcular o limite do valor absoluto da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série. Matematicamente, isso fica assim:

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que , então substituímos na fórmula:

Passo 4

Observamos que . Portanto, o limite fica:
Segundo o Teste da Razão, a s��rie converge se . Mas aqui, é infinito para qualquer diferente de zero.

Resposta

A série converge apenas quando . Portanto, o domínio de convergência é .

Exercícios relacionados

Considere as séries de números reais tais que . Além disso, suponha que existe uma função contínua, positiva e decrescente tal que e é convergente. Prove que: a série é convergente.
Seja uma sequência de números reais positivos tal que . Mostre que a série é convergente?
Calcule as integrais definidas abaixo.
Calcule as integrais definidas abaixo.