Determine o domínio da série dada por: sumk=1^+infty k!x^k

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Precisamos encontrar o domínio de convergência da série . Isso significa descobrir para quais valores de a série vai somar a um número finito. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para verificar a convergência de séries envolvendo fatoriais e potências.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o Teste da Razão. Esse teste nos diz para calcular o limite do valor absoluto da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série. Matematicamente, isso fica assim:
L = limk to infty | (k+1)!x^k+1k!x^k |

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que L = limk to infty | (k+1) cdot k! cdot x^k+1k! cdot x^k | = limk to infty | (k+1) cdot x | = |x| cdot limk to infty (k+1) , então substituímos na fórmula:

Passo 4

Observamos que L = |x| cdot (+infty) = +infty se x neq 0 . Portanto, o limite fica:
Segundo o Teste da Razão, a s��rie converge se . Mas aqui, é infinito para qualquer diferente de zero.

Resposta

A série converge apenas quando . Portanto, o domínio de convergência é .

Exercícios relacionados