Calcule as integrais definidas abaixo.
integral1^4(raizr-r^2) d r

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral definida de de 1 a 4. Isso faz parte de cálculo integral. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções básicas e aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral1^4 raizr , dr - integral1^4 r^2 , dr

Passo 3

Agora, vamos encontrar as primitivas (antiderivadas) de cada termo. Lembra que a integral de integral raizr , dr = integral r^1/2 , dr = r^3/23/2 = 23 r^3/2 é integral r^2 , dr = r^33 , onde .
Para , que é :
E para :

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Isso significa que vamos avaliar as primitivas no limite superior (4) e no limite inferior (1) e depois subtrair.
Para a primeira integral:
[ 23 r^3/2 ]1^4 = 23 (4^3/2 - 1^3/2)
E para a segunda integral:
[ r^33 ]1^4 = 13 (4^3 - 1^3)

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
Para 4^3/2 = (raiz4)^3 = 2^3 = 8 :
23 (8 - 1) = 23 times 7 = 143
E 13 (64 - 1) = 13 times 63 = 21 .
Então:
Para e :

Resposta

Agora, subtraímos os resultados das duas integrais:
143 - 21 = 143 - 633 = -493
Portanto, o valor da integral é .

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