Encontre o valor de
, para

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de de 0 a 3, onde é uma função que muda de expressão dependendo do valor de . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais de funções por partes, ou seja, quando a função é definida por diferentes expressões em intervalos distintos. Para resolver, vamos dividir a integral nos intervalos onde muda de expressão e calcular cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função é definida por três partes:
Vamos dividir a integral em três partes correspondentes aos intervalos onde a função muda de expressão:
  1. De 0 a 1, onde .
  2. De 1 a 2, onde .
  3. De 2 a 3, onde .

Passo 3

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira parte: De 0 a 1
A integral de é . Então,
Avaliado de 0 a 1:
Segunda parte: De 1 a 2
Integrando:
Avaliado de 1 a 2:
Terceira parte: De 2 a 3
Integrando:
Avaliado de 2 a 3:

Resposta

Somando as três partes:
Portanto, o valor de é 227.

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, para