Encontre o valor de
integral0^3 h(x) d x, para h(x)= 3 x^2, & se x <= 1, 4 x^3, & se 1= 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de de 0 a 3, onde é uma função que muda de expressão dependendo do valor de . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais de funções por partes, ou seja, quando a função é definida por diferentes expressões em intervalos distintos. Para resolver, vamos dividir a integral nos intervalos onde muda de expressão e calcular cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função h(x) = 3x^2, & se x <= 1, 4x^3, & se 1 < x < 2, 5x^4, & se x >= 2 é definida por três partes:
Vamos dividir a integral em três partes correspondentes aos intervalos onde a função muda de expressão:
  1. De 0 a 1, onde .
  2. De 1 a 2, onde .
  3. De 2 a 3, onde .

Passo 3

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira parte: De 0 a 1
integral0^1 3x^2 , dx
A integral de integral 3x^2 , dx = 3 cdot x^33 = x^3 é 1^3 - 0^3 = 1 - 0 = 1 . Então,
integral1^2 4x^3 , dx
Avaliado de 0 a 1:
integral 4x^3 , dx = 4 cdot x^44 = x^4
Segunda parte: De 1 a 2
2^4 - 1^4 = 16 - 1 = 15
Integrando:
integral2^3 5x^4 , dx
Avaliado de 1 a 2:
integral 5x^4 , dx = 5 cdot x^55 = x^5
Terceira parte: De 2 a 3
3^5 - 2^5 = 243 - 32 = 211
Integrando:
Avaliado de 2 a 3:

Resposta

Somando as três partes:
1 + 15 + 211 = 227
Portanto, o valor de é 227.

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