Calcule as integrais definidas abaixo.
integral2^5(2+2 t+3 t^2) d t

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente calcular a integral definida de no intervalo de 2 a 5. Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral. Vamos precisar saber como integrar cada termo dessa função e depois aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de uma soma é a soma das integrais. Então, vamos integrar , e uma por uma.

Passo 3

Vamos começar com a integral de integral 2 , dt = 2t em relação a :
Isso porque a integral de uma constante é .

Passo 4

Agora, a integral de integral 2t , dt = 2 cdot t^22 = t^2 em relação a :
Aqui, usamos a regra de potência: .

Passo 5

Por fim, a integral de integral 3t^2 , dt = 3 cdot t^33 = t^3 em relação a :
Mais uma vez, aplicamos a regra de potência.

Passo 6

Agora, juntamos as integrais que calculamos:
2t + t^2 + t^3
Isso é a antiderivada da função original.

Passo 7

Vamos aplicar os limites de integração, de 2 a 5. Primeiro substituímos 2(5) + 5^2 + 5^3 = 10 + 25 + 125 = 160 :
2(2) + 2^2 + 2^3 = 4 + 4 + 8 = 16
Depois, substituímos :

Resposta

A integral definida vale .

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