Encontre o valor de
integral1^-2 g(x) d x, para g(x)= -x+4, & se x <= 0, 3+e^x, & se x>0 ;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de g(x) = -x + 4, & se x <= 0, 3 + e^x, & se x > 0 de 1 a -2, onde a função é definida por partes:
Isso envolve o conceito de integração em cálculo, onde vamos encontrar a área sob a curva da função nesse intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos notar que a integral de um número maior para um menor é igual ao negativo da integral no sentido contrário. Ou seja:
integral1^-2 g(x) , dx = - integral-2^1 g(x) , dx
Isso facilita nossos cálculos, já que geralmente trabalhamos com integrais onde o limite inferior é menor que o superior.

Passo 3

Como a função integral-2^1 g(x) , dx = integral-2^0 (-x + 4) , dx + integral0^1 (3 + e^x) , dx é definida por partes diferentes para e , e nosso intervalo de integração inclui o ponto , precisamos dividir a integral em duas partes:

Passo 4

Vamos calcular a primeira integral: integral (-x + 4) , dx = -x^22 + 4x + C .
Primeiro, integramos a função:
[ -x^22 + 4x ]-2^0 = ( -0^22 + 4 cdot 0 ) - ( -(-2)^22 + 4 cdot (-2) ) = 0 - ( -2 - 8 ) = 0 - (-10) = 10
Agora, avaliamos nos limites de -2 a 0:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda integral: integral (3 + e^x) , dx = 3x + e^x + C .
Primeiro, integramos a função:
[ 3x + e^x ]0^1 = ( 3 cdot 1 + e^1 ) - ( 3 cdot 0 + e^0 ) = (3 + e) - (0 + 1) = 3 + e - 1 = 2 + e
Agora, avaliamos nos limites de 0 a 1:

Resposta

Agora, somamos as duas integrais que calculamos:
integral-2^1 g(x) , dx = 10 + (2 + e) = 12 + e
Lembrando que originalmente tínhamos:
integral1^-2 g(x) , dx = - integral-2^1 g(x) , dx = -(12 + e) = -12 - e
Portanto, o valor da integral é .

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