Calcule as integrais definidas abaixo : (1 ponto) integralpi / 2^pi sen^8 theta cos theta d theta.

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Essa questão envolve cálculo de integrais utilizando substituição. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de substituição adequada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a expressão. Observe que temos multiplicado por . Isso sugere que podemos usar a substituição , já que a derivada de é .

Passo 3

Fazendo a substituição du = cos theta , dtheta , temos:
integral u^8 , du
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Agora, precisamos ajustar os limites de integração para a variável u = sin(pi2) = 1 . Quando u = sin(pi) = 0 :
Quando :
Então, os novos limites de integração são de 1 a 0.

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral1^0 u^8 , du = [ u^99 ]1^0 = ( 0^99 ) - ( 1^99 ) = 0 - 19 = -19
No entanto, como estamos integrando de um limite maior para um menor (de 1 para 0), o resultado negativo indica a direção da integração. Podemos inverter os limites e mudar o sinal:
-integral0^1 u^8 , du = 19

Resposta

O valor da integral é .

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