O comprimento de um retângulo é dado por
e sua altura é dada por
, onde
corresponde ao tempo em segundos e as dimensões são dadas em centímetros. Ache a taxa de variação da área com respeito ao tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um retângulo cujo comprimento é dado por
e a altura por
, onde
é o tempo em segundos. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação da área desse retângulo em relação ao tempo. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para achar como a área muda conforme o tempo passa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área
de um retângulo é calculada multiplicando o comprimento pela altura. Então, podemos expressar a área em função de
assim:
Passo 3
Agora, queremos descobrir como essa área está mudando com o tempo, ou seja, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, representada por
. Para isso, vamos usar a regra do produto, já que
é o produto de duas funções de
:
e
.
Passo 4
A regra do produto diz que se temos duas funções
e
, a derivada do produto delas é:
No nosso caso,
e
.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas individuais:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Passo 6
Aplicando a regra do produto:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão:
Primeiro, a parte
:
Segundo, a parte
:
Então, juntando tudo:
Passo 8
Podemos combinar os termos para simplificar ainda mais. Para isso, vamos deixar tudo com o mesmo denominador
:
Passo 9
Portanto, a taxa de variação da área em relação ao tempo é:
Resposta
A taxa de variação da área com respeito ao tempo é
centímetros quadrados por segundo.