O comprimento de um retângulo é dado por e sua altura é dada por , onde corresponde ao tempo em segundos e as dimensões são dadas em centímetros. Ache a taxa de variação da área com respeito ao tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um retângulo cujo comprimento é dado por e a altura por , onde é o tempo em segundos. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação da área desse retângulo em relação ao tempo. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para achar como a área muda conforme o tempo passa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área de um retângulo é calculada multiplicando o comprimento pela altura. Então, podemos expressar a área em função de assim:

Passo 3

Agora, queremos descobrir como essa área está mudando com o tempo, ou seja, precisamos encontrar a derivada de em relação a , representada por . Para isso, vamos usar a regra do produto, já que é o produto de duas funções de : e .

Passo 4

A regra do produto diz que se temos duas funções e , a derivada do produto delas é: No nosso caso, e .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas individuais: 1. Derivada de : 2. Derivada de :

Passo 6

Aplicando a regra do produto:

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão: Primeiro, a parte : Segundo, a parte : Então, juntando tudo:

Passo 8

Podemos combinar os termos para simplificar ainda mais. Para isso, vamos deixar tudo com o mesmo denominador :

Passo 9

Portanto, a taxa de variação da área em relação ao tempo é:

Resposta

A taxa de variação da área com respeito ao tempo é centímetros quadrados por segundo.

Exercícios relacionados

Derive cada função abaixo (se possível, simplifique a função ou derivada)
Calcule as integrais definidas abaixo : (1 ponto) .
Calcule as integrais indefinidas abaixo: (1 ponto) . ( 1 ponto)
Calcule as integrais indefinidas abaixo: (1 ponto) .