O comprimento de um retângulo é dado por e sua altura é dada por , onde corresponde ao tempo em segundos e as dimensões são dadas em centímetros. Ache a taxa de variação da área com respeito ao tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um retângulo cujo comprimento é dado por e a altura por , onde é o tempo em segundos. Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação da área desse retângulo em relação ao tempo. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para achar como a área muda conforme o tempo passa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área de um retângulo é calculada multiplicando o comprimento pela altura. Então, podemos expressar a área em função de assim:
Passo 3
Agora, queremos descobrir como essa área está mudando com o tempo, ou seja, precisamos encontrar a derivada de em relação a , representada por . Para isso, vamos usar a regra do produto, já que é o produto de duas funções de : e .
Passo 4
A regra do produto diz que se temos duas funções e , a derivada do produto delas é:
No nosso caso, e .
Passo 5
Vamos calcular as derivadas individuais:
1. Derivada de :
2. Derivada de :
Passo 6
Aplicando a regra do produto:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão:
Primeiro, a parte :
Segundo, a parte :
Então, juntando tudo:
Passo 8
Podemos combinar os termos para simplificar ainda mais. Para isso, vamos deixar tudo com o mesmo denominador :
Passo 9
Portanto, a taxa de variação da área em relação ao tempo é:
Resposta
A taxa de variação da área com respeito ao tempo é centímetros quadrados por segundo.
Exercícios relacionados
Derive cada função abaixo (se possível, simplifique a função ou derivada)
Calcule as integrais definidas abaixo : (1 ponto) .
Calcule as integrais indefinidas abaixo: (1 ponto) . ( 1 ponto)
Calcule as integrais indefinidas abaixo: (1 ponto) .