Calcule as integrais definidas abaixo usando o método de substituição.
(b) integral0^1 raiz1+7 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida usando o método de substituição. Esse método é útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Aqui, vamos precisar entender como fazer uma troca de variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Olhando para u = 1 + 7x , percebemos que a expressão dentro da raiz, , pode ser nossa substituição. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 7 em relação a du = 7 , dx para substituir dx = du7 na integral. Derivando :
Isso significa que:
E isolando :

Passo 4

Também precisamos mudar os limites de integração de u = 1 + 7(0) = 1 para u = 1 + 7(1) = 8 . Quando :
E quando :
Então, a integral agora vai de a .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
integral0^1 raiz1+7x , dx = integral1^8 raizu cdot du7 = 17 integral1^8 u^1/2 , du
Aqui, simplificamos a integral com a substituição que fizemos.

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^1/2 , du = u^3/23/2 = 23 u^3/2 :
17 cdot 23 [ u^3/2 ]1^8 = 221 [ u^3/2 ]1^8
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, substituímos os limites de 221 [ 8^3/2 - 1^3/2 ] :
8^3/2 = (8^1/2)^3 = (2.828)^3 = 22.627 (ou exatamente 8^3/2 = 8 cdot raiz8 = 16raiz2)
Calculando 1^3/2 = 1 e 221 (16raiz2 - 1) :
Portanto:

Resposta

A integral definida é:
integral0^1 raiz1+7x , dx = 221 (16raiz2 - 1)

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