Calcule as integrais definidas abaixo usando o método de substituição.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
usando o método de substituição. Esse método é útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Aqui, vamos precisar entender como fazer uma troca de variável para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Olhando para
, percebemos que a expressão dentro da raiz,
, pode ser nossa substituição. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
na integral. Derivando
:
Isso significa que:
E isolando
:
Passo 4
Também precisamos mudar os limites de integração de
para
. Quando
:
E quando
:
Então, a integral agora vai de
a
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral original:
Aqui, simplificamos a integral com a substituição que fizemos.
Passo 6
Agora, vamos integrar
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, substituímos os limites de
:
Calculando
e
:
Portanto:
Resposta
A integral definida é: