Use F(x)=(1+x)^-1 como primitiva de f(x)=ln (1+x) e investigue a convergência ou divergência da integral imprópria integral-1^0 11+x d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar como primitiva de e investigar se a integral imprópria converge ou diverge. Vamos precisar entender o que é integral imprópria e como avaliar limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria ocorre quando a função que estamos integrando tem uma descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso, tem uma descontinuidade em , porque o denominador fica zero aí. Então, a integral de a é imprópria.

Passo 3

Para resolver uma integral imprópria, a gente substitui o limite problemático por um limite. Aqui, vamos substituir lima to -1^+ integrala^0 11+x , dx por um valor que se aproxima de pela direita (valores maiores que ). Assim, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral integrala^0 11+x , dx = ln|1+0| - ln|1+a| = ln(1) - ln(1+a) . Sabemos que a primitiva de é . Então, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:

Passo 5

Simplificando, sabemos que ln(1) - ln(1+a) = -ln(1+a) , então:

Passo 6

Agora, vamos voltar ao limite:
lima to -1^+ -ln(1+a)
Quando -ln(0^+) = -(-infty) = +infty se aproxima de pela direita, se aproxima de pela direita. Sabemos que tende a , então:

Resposta

A integral imprópria diverge, pois seu valor tende ao infinito.

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