Use
como primitiva de
e investigue a convergência ou divergência da integral imprópria
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar
como primitiva de
e investigar se a integral imprópria
converge ou diverge. Vamos precisar entender o que é integral imprópria e como avaliar limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria ocorre quando a função que estamos integrando tem uma descontinuidade no intervalo de integração. No nosso caso,
tem uma descontinuidade em
, porque o denominador fica zero aí. Então, a integral de
a
é imprópria.
Passo 3
Para resolver uma integral imprópria, a gente substitui o limite problemático por um limite. Aqui, vamos substituir
por um valor
que se aproxima de
pela direita (valores maiores que
). Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral
. Sabemos que a primitiva de
é
. Então, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 5
Simplificando, sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, vamos voltar ao limite:
Quando
se aproxima de
pela direita,
se aproxima de
pela direita. Sabemos que
tende a
, então:
Resposta
A integral imprópria
diverge, pois seu valor tende ao infinito.