Calcule as integrais de linha: b) integralC(-3 z^2 y, x^3+3 x y^2, 3(x^2+y^2)) cdot d r, onde C é a circunferência de centro (0,0,1), raio 1 , paralela ao plano x y, com uma de suas orientações.

Passo 1

Então, temos que calcular uma integral de linha. A integral é dada por:
integralC ( -3z^2 y, x^3+3x y^2, 3(x^2+y^2) ) cdot dr
O caminho é uma circunferência com centro em , raio 1, paralela ao plano . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha a integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot dS é igual à integral da rotacional desse campo vetorial sobre uma superfície que tem como borda:
Então, para aplicar esse teorema, precisamos calcular a rotacional do campo vetorial .

Passo 3

Calculando a rotacional nabla times F = ( partialpartial y(3(x^2+y^2)) - partialpartial z(x^3 + 3x y^2), partialpartial z(-3z^2 y) - partialpartial x(3(x^2+y^2)), partialpartial x(x^3 + 3x y^2) - partialpartial y(-3z^2 y) ) :
partialpartial y(3(x^2+y^2)) = 6y
Vamos calcular cada componente:
  • Componente partialpartial z(x^3 + 3x y^2) = 0 :
partialpartial z(-3z^2 y) = -6zy
partialpartial x(3(x^2+y^2)) = 6x
Então, partialpartial x(x^3 + 3x y^2) = 3x^2 + 3y^2 .
  • Componente partialpartial y(-3z^2 y) = -3z^2 :
nabla times F = (6y, -6zy - 6x, 3x^2 + 3y^2 + 3z^2)
Então, .
  • Componente :
Então, .
Portanto,

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície r(x,y) = (x, y, 1) cuja borda seja a circunferência . Como é paralela ao plano e está localizada no plano , vamos escolher como o disco no plano com raio 1.
A parametrização da superfície é:
onde .

Passo 5

Calculando o vetor normal dS = n, dA = (0, 0, 1), dx, dy para a superfície . Como a superfície é no plano , o vetor normal é na direção positiva de , ou seja, .
Então,

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot n = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 :
3x^2 + 3y^2 + 3(1)^2 = 3x^2 + 3y^2 + 3 = 3(x^2 + y^2 + 1)
Como na superfície :

Passo 7

Agora, integramos sobre a superfície integral duplaS (nabla times F) cdot dS = integral duplax^2 + y^2 <= 1 3(x^2 + y^2 + 1) , dx, dy :
3 integral0^2pi integral0^1 (r^2 + 1) r , dr, dtheta = 3 integral0^2pi integral0^1 (r^3 + r) , dr, dtheta
Vamos mudar para coordenadas polares, onde , , e :

Passo 8

Calculando a integral interna:
integral0^1 (r^3 + r) , dr = [ r^44 + r^22 ]0^1 = 14 + 12 = 34
Então,
3 integral0^2pi 34 , dtheta = 94 integral0^2pi dtheta = 94 cdot 2pi = 92 pi

Resposta

A integral de linha vale .

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