Calcule as integrais de linha: b)
, onde
é a circunferência de centro
, raio 1 , paralela ao plano
, com uma de suas orientações.
Passo 1
Então, temos que calcular uma integral de linha. A integral é dada por:
O caminho
é uma circunferência com centro em
, raio 1, paralela ao plano
. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha a integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema de Stokes. Ele nos diz que a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada
é igual à integral da rotacional desse campo vetorial sobre uma superfície
que tem
como borda:
Então, para aplicar esse teorema, precisamos calcular a rotacional do campo vetorial
.
Passo 3
Calculando a rotacional
:
Vamos calcular cada componente:
- Componente
:
Então,
.
- Componente
:
Então,
.
- Componente
:
Então,
.
Portanto,
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície
cuja borda seja a circunferência
. Como
é paralela ao plano
e está localizada no plano
, vamos escolher
como o disco no plano
com raio 1.
A parametrização da superfície
é:
onde
.
Passo 5
Calculando o vetor normal
para a superfície
. Como a superfície é no plano
, o vetor normal é na direção positiva de
, ou seja,
.
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Como
na superfície
:
Passo 7
Agora, integramos sobre a superfície
:
Vamos mudar para coordenadas polares, onde
,
, e
:
Passo 8
Calculando a integral interna:
Então,
Resposta
A integral de linha vale
.