Demosntre a identidade
integral duplaS nabla f cdot n d S=integral triplaG De
supondo que S e G satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência e que f(x, y, z) cumpra os requisitos de diferenciabilidade necessários. Acima,
De

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar que:
integral duplaS nabla f cdot n , dS = integral triplaG De
onde é a superfície que delimita o volume , é o gradiente de uma função , é o vetor normal à superfície, e é o Laplaciano de . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender o que cada parte significa e como aplicar o teorema nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que para um campo vetorial integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaG nabla cdot F , dV e um volume com superfície fechada , temos:
Ou seja, a integral de superfície do fluxo de através de é igual à integral de volume da divergência de sobre .

Passo 3

Agora, na nossa questão, vemos que o lado esquerdo é . Comparando com o Teorema da Divergência, podemos identificar .

Passo 4

Então, aplicando o Teorema da Divergência com integral duplaS nabla f cdot n , dS = integral triplaG nabla cdot (nabla f) , dV , temos:

Passo 5

A próxima coisa que precisamos entender é a divergência de nabla cdot (nabla f) = De. A divergência de um gradiente é exatamente o Laplaciano de . Matematicamente:
Isso é uma propriedade importante das operações diferenciais.

Passo 6

Substituindo de volta na equação que obtivemos no Passo 4, temos:
integral duplaS nabla f cdot n , dS = integral triplaG De

Resposta

Prontinho! Demonstramos que:
integral duplaS nabla f cdot n , dS = integral triplaG De
usando o Teorema da Divergência e a definição do Laplaciano.

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