Demosntre a identidade
supondo que
e
satisfaçam as hipóteses do Teorema da Divergência e que
cumpra os requisitos de diferenciabilidade necessários. Acima,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar que:
onde
é a superfície que delimita o volume
,
é o gradiente de uma função
,
é o vetor normal à superfície, e
é o Laplaciano de
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender o que cada parte significa e como aplicar o teorema nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que para um campo vetorial
e um volume
com superfície fechada
, temos:
Ou seja, a integral de superfície do fluxo de
através de
é igual à integral de volume da divergência de
sobre
.
Passo 3
Agora, na nossa questão, vemos que o lado esquerdo é
. Comparando com o Teorema da Divergência, podemos identificar
.
Passo 4
Então, aplicando o Teorema da Divergência com
, temos:
Passo 5
A próxima coisa que precisamos entender é a divergência de
. A divergência de um gradiente é exatamente o Laplaciano de
. Matematicamente:
Isso é uma propriedade importante das operações diferenciais.
Passo 6
Substituindo de volta na equação que obtivemos no Passo 4, temos:
Resposta
Prontinho! Demonstramos que:
usando o Teorema da Divergência e a definição do Laplaciano.