Calcule as integrais de superfície
nos seguintes casos:
e
é a esfera
, com vetor normal
exterior. O que significa este resultado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é calcular a integral de superfície de um campo vetorial F sobre uma esfera S. Especificamente, F é dado por:
E S é a esfera definida por
com o vetor normal n apontando para fora. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como a integral de superfície e o teorema da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície. Ela calcula o fluxo de um campo vetorial passando através de uma superfície. No nosso caso, queremos saber quanto do campo F está “passando” pela esfera S.
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos utilizar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo. A fórmula do teorema é:
Onde V é o volume limitado pela superfície S.
Passo 4
Primeiro, precisamos calcular a divergência de F, ou seja,
.
Dado que:
Vamos calcular cada componente da divergência:
Após calcular as derivadas, descobrimos que
para qualquer ponto onde
.
Passo 5
Agora, aplicando o Teorema da Divergência, temos:
Isso significa que o fluxo total de F através da esfera S é zero.
Passo 6
Mas, atenção! Nosso cálculo assumiu que o ponto
não está dentro da esfera S. No caso, se
estivesse dentro, teríamos uma singularidade no campo F, e o teorema da divergência precisaria ser aplicado com cuidado. No entanto, como a esfera S está definida por
, o ponto
está oco dentro dela.
Resposta
A integral de superfície
é igual a 0. Isso significa que não há fluxo líquido do campo F através da esfera S.