Calcule as integrais de superfície integral duplaS F cdot d S nos seguintes casos: F(x, y, z)=(x, y, z)(z^2+x^2+y^2)^32 e S é a esfera z^2+x^2+y^2=a^2, com vetor normal n exterior. O que significa este resultado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é calcular a integral de superfície de um campo vetorial F sobre uma esfera S. Especificamente, F é dado por:
F(x, y, z) = (x, y, z)(z^2 + x^2 + y^2)^32
E S é a esfera definida por com o vetor normal n apontando para fora. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como a integral de superfície e o teorema da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de superfície. Ela calcula o fluxo de um campo vetorial passando através de uma superfície. No nosso caso, queremos saber quanto do campo F está “passando” pela esfera S.

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos utilizar o Teorema da Divergência, que relaciona a integral de superfície de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse campo. A fórmula do teorema é:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Onde V é o volume limitado pela superfície S.

Passo 4

Primeiro, precisamos calcular a divergência de F, ou seja, F = (x, y, z)(x^2 + y^2 + z^2)^32 .
Dado que:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Vamos calcular cada componente da divergência:
Após calcular as derivadas, descobrimos que para qualquer ponto onde .

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema da Divergência, temos:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV 0 , dV = 0
Isso significa que o fluxo total de F através da esfera S é zero.

Passo 6

Mas, atenção! Nosso cálculo assumiu que o ponto não está dentro da esfera S. No caso, se estivesse dentro, teríamos uma singularidade no campo F, e o teorema da divergência precisaria ser aplicado com cuidado. No entanto, como a esfera S está definida por , o ponto está oco dentro dela.

Resposta

A integral de superfície é igual a 0. Isso significa que não há fluxo líquido do campo F através da esfera S.

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