Calcule as integrais definidas abaixo usando o método de substituição.
(f) integrale^e^4 1x raizln x d x

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral definida . Vamos usar o método de substituição, que é uma técnica de cálculo para simplificar integrais complicadas. Para isso, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que no integrando temos . Vamos fazer uma substituição para simplificar essa expressão. Vamos definir . Isso nos ajudará a transformar a integral em termos de , o que geralmente simplifica bastante o cálculo.

Passo 3

Agora, precisamos expressar dudx = 1x implies du = 1x dx implies dx = x , du em termos de dx = e^u , du . Se , então derivando ambos os lados em relação a , temos:
Mas como , podemos reescrever em termos de : . Substituindo isso na expressão de :

Passo 4

Vamos substituir integralx=e^x=e^4 1x raizln x , dx = integralu=ln e^u=ln e^4 1e^u raizu cdot e^u , du e integralu=1^u=4 1raizu , du na integral original:
Simplificando no numerador e denominador:

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples: integral u^-1/2 , du = u^1/21/2 + C = 2raizu + C . Sabemos que . Vamos integrar :

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 1 a 4:
2raizu g|1^4 = 2raiz4 - 2raiz1 = 2 times 2 - 2 times 1 = 4 - 2 = 2

Resposta

O valor da integral é .

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