Calcule as integrais definidas abaixo usando o método de substituição.
(f)

Passo 1

Beleza, temos que calcular a integral definida . Vamos usar o método de substituição, que é uma técnica de cálculo para simplificar integrais complicadas. Para isso, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que no integrando temos . Vamos fazer uma substituição para simplificar essa expressão. Vamos definir . Isso nos ajudará a transformar a integral em termos de , o que geralmente simplifica bastante o cálculo.

Passo 3

Agora, precisamos expressar em termos de . Se , então derivando ambos os lados em relação a , temos:
Mas como , podemos reescrever em termos de : . Substituindo isso na expressão de :

Passo 4

Vamos substituir e na integral original:
Simplificando no numerador e denominador:

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples: . Sabemos que . Vamos integrar :

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 1 a 4:

Resposta

O valor da integral é .

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(a)
Calcule as integrais de linha: c) e é a curva interseção do cilindro , com o plano , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Calcule as seguintes integrais envolvendo funções trigonométricas.
(b)
Determine: f) O fluxo de sobre onde , onde com .