Calcule as seguintes integrais envolvendo funções trigonométricas.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que calcular a integral de uma função trigonométrica, especificamente . Isso envolve potências de cosseno e seno. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração que lidam com produtos de funções trigonométricas, como a substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral: . Note que o seno está elevado a uma potência ímpar (3). Uma boa estratégia aqui é separar um fator de seno e usar a identidade trigonométrica para simplificar o resto. Isso porque, com a potência ímpar de seno, conseguimos usar a substituição.

Passo 3

Vamos reescrever a integral separando um seno:

Passo 4

Agora, usamos a identidade trigonométrica para substituir :

Passo 5

Distribuímos :

Passo 6

Agora, fazemos uma substituição. Vamos deixar . Logo, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 7

Substituindo na integral:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
, onde é a constante de integração.

Passo 9

Voltamos a substituir :

Resposta

A integral vale , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais definidas abaixo usando o método de substituição.
(f)
Calcule as integrais definidas abaixo usando o método de substituição.
(a)
Determine: f) O fluxo de sobre onde , onde com .
Determine: g) O fluxo de sobre onde e é qualquer superfície cujo bordo seja parametrizado por com e normal apontando para cima.