Calcule as seguintes integrais envolvendo funções trigonométricas.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem que calcular a integral de uma função trigonométrica, especificamente . Isso envolve potências de cosseno e seno. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração que lidam com produtos de funções trigonométricas, como a substituição trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral: . Note que o seno está elevado a uma potência ímpar (3). Uma boa estratégia aqui é separar um fator de seno e usar a identidade trigonométrica para simplificar o resto. Isso porque, com a potência ímpar de seno, conseguimos usar a substituição.
Passo 3
Vamos reescrever a integral separando um seno:
Passo 4
Agora, usamos a identidade trigonométrica para substituir :
Passo 5
Distribuímos
:
Passo 6
Agora, fazemos uma substituição. Vamos deixar
. Logo, a derivada de
em relação a
é , ou seja, .
Passo 7
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Passo 9
Voltamos a substituir
:
Resposta
A integral vale
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais definidas abaixo usando o método de substituição.
(f)
(f)
Calcule as integrais definidas abaixo usando o método de substituição.
(a)
(a)
Determine: f) O fluxo de
sobre
onde
, onde
com
.
Determine: g) O fluxo de
sobre
onde
e
é qualquer superfície cujo bordo seja parametrizado por
com
e normal apontando para cima.