Calcule as seguintes integrais envolvendo funções trigonométricas.
(b) integral cos ^4(x) sen^3(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que calcular a integral de uma função trigonométrica, especificamente . Isso envolve potências de cosseno e seno. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração que lidam com produtos de funções trigonométricas, como a substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral: . Note que o seno está elevado a uma potência ímpar (3). Uma boa estratégia aqui é separar um fator de seno e usar a identidade trigonométrica para simplificar o resto. Isso porque, com a potência ímpar de seno, conseguimos usar a substituição.

Passo 3

Vamos reescrever a integral separando um seno:

Passo 4

Agora, usamos a identidade trigonométrica para substituir :

Passo 5

Distribuímos cos^4(x):

Passo 6

Agora, fazemos uma substituição. Vamos deixar u = cos(x). Logo, a derivada de u em relação a x é , ou seja, .

Passo 7

Substituindo na integral:
integral ( u^4 - u^6 ) (-du) = -integral ( u^4 - u^6 ) du = integral ( u^6 - u^4 ) du

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:
integral u^6 , du - integral u^4 , du = u^77 - u^55 + C, onde C é a constante de integração.

Passo 9

Voltamos a substituir u = cos(x):
cos^7(x)7 - cos^5(x)5 + C

Resposta

A integral vale cos^7(x)7 - cos^5(x)5 + C, onde C é a constante de integração.

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