Determine: f) O fluxo de sobre onde , onde com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o fluxo do campo vetorial sobre a superfície , que é a parte inferior de uma esfera de raio definida por com . Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que liga o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência é uma operação que, basicamente, mede a taxa com que o campo “fluí” para fora de um ponto. Matematicamente, é dada por:
Para o nosso campo :
Então, a divergência de é constante e igual a 3.

Passo 3

Agora, segundo o Teorema da Divergência, o fluxo total do campo através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência de sobre o volume interno a essa superfície. Nosso problema é que não é uma superfície fechada—é apenas a parte inferior da esfera. Para aplicar o teorema, precisamos fechar a superfície adicionando o disco no plano .
Então, temos:
Onde:
  • é o fluxo que queremos encontrar.
  • é o fluxo através do disco .
  • é a integral da divergência sobre o volume .

Passo 4

Vamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume , que é a metade inferior da esfera de raio .
O volume de uma esfera completa é , então a metade inferior tem volume:
Multiplicando pela divergência:

Passo 5

Agora, precisamos calcular o fluxo através do disco . No disco, onde , o campo vetorial é . O vetor normal para aponta para baixo, ou seja, .
Então:
Isso significa que o fluxo através do disco é zero.

Passo 6

Voltando à equação do Teorema da Divergência:
Portanto:

Resposta

O fluxo de sobre é .

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Calcule as seguintes integrais envolvendo funções trigonométricas.
(b)
Calcule as integrais definidas abaixo usando o método de substituição.
(f)
Determine: g) O fluxo de sobre onde e é qualquer superfície cujo bordo seja parametrizado por com e normal apontando para cima.
Use substituição trigonométrica e calcule as integrais:
(f)