Determine: f) O fluxo de
sobre
onde
, onde
com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o fluxo do campo vetorial
sobre a superfície
, que é a parte inferior de uma esfera de raio
definida por
com
. Para isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que liga o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência é uma operação que, basicamente, mede a taxa com que o campo “fluí” para fora de um ponto. Matematicamente, é dada por:
Para o nosso campo
:
Então, a divergência de
é constante e igual a 3.
Passo 3
Agora, segundo o Teorema da Divergência, o fluxo total do campo
através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência de
sobre o volume interno a essa superfície. Nosso problema é que
não é uma superfície fechada—é apenas a parte inferior da esfera. Para aplicar o teorema, precisamos fechar a superfície adicionando o disco
no plano
.
Então, temos:
Onde:
-
é o fluxo que queremos encontrar. -
é o fluxo através do disco . -
é a integral da divergência sobre o volume .
Passo 4
Vamos calcular a integral tripla da divergência sobre o volume
, que é a metade inferior da esfera de raio
.
O volume de uma esfera completa é
, então a metade inferior tem volume:
Multiplicando pela divergência:
Passo 5
Agora, precisamos calcular o fluxo através do disco
. No disco, onde
, o campo vetorial
é
. O vetor normal
para
aponta para baixo, ou seja,
.
Então:
Isso significa que o fluxo através do disco
é zero.
Passo 6
Voltando à equação do Teorema da Divergência:
Portanto:
Resposta
O fluxo de
sobre
é
.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais envolvendo funções trigonométricas.
(b)
(b)
Calcule as integrais definidas abaixo usando o método de substituição.
(f)
(f)
Determine: g) O fluxo de
sobre
onde
e
é qualquer superfície cujo bordo seja parametrizado por
com
e normal apontando para cima.
Use substituição trigonométrica e calcule as integrais:
(f)
(f)