Calcule as integrais de linha: c) integralC(y-z, z-x, x-y) cdot d r e C é a curva interseção do cilindro x^2+y^2=1, com o plano x+z=1, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O exercício pede para calcular , onde é a curva de interseção entre o cilindro e o plano . Vamos usar conhecimento de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para resolver isso. Precisamos parametrizar a curva e depois calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva x = cos(theta) . É a interseção entre o cilindro y = sin(theta) e o plano z = 1 - x = 1 - cos(theta) . Para parametrizar r(theta) = (cos(theta), sin(theta), 1 - cos(theta)) , podemos usar coordenadas polares para o cilindro. Vamos escolher um parâmetro que varia de a .
Dado que , podemos escrever:
Agora, usando o plano , podemos resolver para :
Então, a parametrização de fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial drdtheta = (-sin(theta), cos(theta), sin(theta)) . Para isso, derivamos cada componente de dr = (-sin(theta), cos(theta), sin(theta)) dtheta em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos F(r(theta)) = (sin(theta) - (1 - cos(theta)), (1 - cos(theta)) - cos(theta), cos(theta) - sin(theta)) , F(r(theta)) = (sin(theta) - 1 + cos(theta), 1 - 2cos(theta), cos(theta) - sin(theta)) e na função vetorial pela parametrização que encontramos:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar (sin(theta) - 1 + cos(theta))(-sin(theta)) + (1 - 2cos(theta))(cos(theta)) + (cos(theta) - sin(theta))(sin(theta)) :
-sin^2(theta) + sin(theta) - cos(theta)sin(theta) + cos(theta) - 2cos^2(theta) + cos(theta)sin(theta) - sin^2(theta)
Vamos simplificar termo a termo:
  1. -2sin^2(theta) + sin(theta) + cos(theta) - 2cos^2(theta)
Somando todos os termos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de integral0^2pi (-2sin^2(theta) + sin(theta) + cos(theta) - 2cos^2(theta)) dtheta a -2pi + 0 + 0 - 2pi = -4pi :
Vamos integrar termo a termo:
  1. (usando )
  2. (usando )
Somando todos os resultados:

Resposta

A integral de linha é .

Exercícios relacionados