Calcule as integrais de linha: c) e é a curva interseção do cilindro , com o plano , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O exercício pede para calcular , onde é a curva de interseção entre o cilindro e o plano . Vamos usar conhecimento de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para resolver isso. Precisamos parametrizar a curva e depois calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . É a interseção entre o cilindro e o plano . Para parametrizar , podemos usar coordenadas polares para o cilindro. Vamos escolher um parâmetro que varia de a .
Dado que , podemos escrever:
Agora, usando o plano , podemos resolver para :
Então, a parametrização de fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial . Para isso, derivamos cada componente de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos , e na função vetorial pela parametrização que encontramos:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :
Vamos simplificar termo a termo:
Somando todos os termos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de a :
Vamos integrar termo a termo:
  1. (usando )
  2. (usando )
Somando todos os resultados:

Resposta

A integral de linha é .

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Calcule as integrais definidas abaixo usando o método de substituição.
(a)
Calcule as integrais definidas abaixo usando o método de substituição.
(f)