Calcule as integrais de linha: c)
e
é a curva interseção do cilindro
, com o plano
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O exercício pede para calcular
, onde
é a curva de interseção entre o cilindro
e o plano
. Vamos usar conhecimento de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha, para resolver isso. Precisamos parametrizar a curva
e depois calcular a integral usando essa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. É a interseção entre o cilindro
e o plano
. Para parametrizar
, podemos usar coordenadas polares para o cilindro. Vamos escolher um parâmetro
que varia de
a
.
Dado que
, podemos escrever:
Agora, usando o plano
, podemos resolver para
:
Então, a parametrização de
fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor diferencial
. Para isso, derivamos cada componente de
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na função vetorial
pela parametrização que encontramos:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Vamos simplificar termo a termo:
Somando todos os termos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Vamos integrar termo a termo:
-
(usando ) -
-
-
(usando )
Somando todos os resultados:
Resposta
A integral de linha é
.
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