Calcule as integrais definidas abaixo usando o método de substituição.
(a) integral0^1 cos (pi x / 2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida usando o método de substituição. Esse método é útil quando a integral tem uma função composta, facilitando a resolução ao simplificar a expressão. Vamos precisar conhecer as regras básicas de integração e como escolher a substituição certa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observamos que dentro do cosseno temos u = pi x2 . Então, vamos definir:
du = pi2 , dx
Agora, precisamos encontrar a diferencial dx = 2pi , du :
Dessa forma, podemos reescrever em termos de :

Passo 3

Vamos mudar os limites de integração para termos em u = pi cdot 02 = 0 . Quando u = pi cdot 12 = pi2 :
integral0^1 cos ( pi x2 ) , dx = integral0^pi2 cos(u) cdot 2pi , du
E quando 2pi integral0^pi2 cos(u) , du :
Agora, substituímos na integral:
Fatorando a constante para fora da integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar integral cos(u) , du = sin(u) em relação a 2pi [ sin(u) ]0^pi2 = 2pi ( sin(pi2) - sin(0) ) :
2pi (1 - 0) = 2pi
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que e , então:

Resposta

A integral é igual a .

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