Use
como primitiva de
e investigue a convergência ou divergência da integral imprópria
.
Divergente.
Divergente.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que usar
como uma primitiva de
e investigar se a integral imprópria
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de integrais impróprias e como calcular limites de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Uma integral imprópria ocorre quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função a ser integrada não é definida em algum ponto do intervalo. No nosso caso, o ponto
faz com que o denominador
seja zero, o que torna a função
indefinida nesse ponto. Portanto, estamos lidando com uma integral imprópria devido a um ponto de descontinuidade dentro do intervalo de integração.
Passo 3
Para calcular a integral imprópria
, vamos reescrevê-la usando limites, já que a função não está definida em
. Assim, a integral se torna:
Isso significa que vamos calcular a integral de
até
e depois ver o que acontece quando
se aproxima de
pela direita.
Passo 4
Vamos calcular a integral de
de
até
. A primitiva de
é
. Assim, temos:
Passo 5
Agora, aplicamos o limite conforme
se aproxima de
pela direita:
À medida que
se aproxima de
pela direita,
se aproxima de
a partir de valores positivos. O logaritmo natural de um número que se aproxima de zero tende a menos infinito:
Resposta
Divergente.