Use F(x)=(1+x)^-1 como primitiva de f(x)=ln (1+x) e investigue a convergência ou divergência da integral imprópria integral-1^0 11+x d x.
Divergente.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que usar como uma primitiva de e investigar se a integral imprópria converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o conceito de integrais impróprias e como calcular limites de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. Uma integral imprópria ocorre quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função a ser integrada não é definida em algum ponto do intervalo. No nosso caso, o ponto faz com que o denominador seja zero, o que torna a função indefinida nesse ponto. Portanto, estamos lidando com uma integral imprópria devido a um ponto de descontinuidade dentro do intervalo de integração.

Passo 3

Para calcular a integral imprópria lima to -1^+ integrala^0 11+x , dx , vamos reescrevê-la usando limites, já que a função não está definida em . Assim, a integral se torna:
Isso significa que vamos calcular a integral de até e depois ver o que acontece quando se aproxima de pela direita.

Passo 4

Vamos calcular a integral de integrala^0 11+x , dx = [ ln|1+x| ]a^0 = ln|1+0| - ln|1+a| = ln(1) - ln(1+a) = 0 - ln(1+a) = -ln(1+a) de até . A primitiva de é . Assim, temos:

Passo 5

Agora, aplicamos o limite conforme lima to -1^+ -ln(1+a) se aproxima de lima to -1^+ -ln(1+a) = -(-infty) = +infty pela direita:
À medida que se aproxima de pela direita, se aproxima de a partir de valores positivos. O logaritmo natural de um número que se aproxima de zero tende a menos infinito:

Resposta

Divergente.

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