Calcule a integral definida abaixo pela definição:
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é uma integral definida para calcular:
. A matéria que estamos lidando é Cálculo Integral, especificamente a definição de integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular antiderivadas e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral definida
representa a área sob a curva da função
entre os pontos
e
. Para calcular isso, a gente encontra uma antiderivada de
, ou seja, uma função
tal que
.
Passo 3
Vamos encontrar a antiderivada de
. Sabemos que a antiderivada de
é
. Aplicando isso:
- A antiderivada de
é . - A antiderivada de
é .
Então, a antiderivada de
é
.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que
, onde
é a antiderivada de
.
Passo 5
Vamos calcular
e
:
-
. -
.
Passo 6
Subtraímos
para encontrar o valor da integral:
.
Resposta
O valor da integral definida
é 30.
Exercícios relacionados
Prove, usando o Princípio de Indução Finita, que
.
Calcule a integral dupla
, onde
.
Calcule as integrais definidas abaixo, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
(d)
(d)
Em uma cultura há inicialmente
bactérias. Uma hora depois,
, o número de bactérias passa a ser
. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique. Esboce a solução graficamente.