Prove, usando o Princípio de Indução Finita, que 10^n > n, n ≥ 1.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que para todo usando o Princípio de Indução Finita. O conteúdo envolvido aqui é a indução matemática, que é uma técnica poderosa para demonstrar afirmações que valem para todos os números naturais a partir de um certo ponto. Para isso, vamos precisar verificar dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.

Passo 2

Base da Indução: Primeiro, precisamos verificar se a afirmação é verdadeira para o menor valor de , que nesse caso é .
Calculando:
Então, a afirmação é verdadeira para .

Passo 3

Passo Indutivo: Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número , ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução. A ideia é usar essa hipótese para provar que a afirmação também é verdadeira para .

Passo 4

Vamos provar que .
Sabemos que:
Pela hipótese de indução, sabemos que , então:
Agora, precisamos mostrar que para .
Para :
Como , , então a desigualdade é verdadeira.
Portanto:
O que mostra que .

Resposta

Pelo Princípio de Indução Finita, comprovamos que para todo .

Exercícios relacionados

Calcule a integral dupla integral duplaR(sen x+cos y) d A, onde R=(x, y) ; 0 <= x <= pi, pi <= y <= 2 pi.
Calcule a integral dupla integral duplaR x y d A, onde R é a região delimitada pelas re tas y=1, y=3 x e y=x2.
Calcule a integral definida abaixo pela definição:
integral1^3 3 x^2+x d x
Calcule as integrais definidas abaixo, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
(d) integral1^3 2^x+2x+2 x+1 d x