Calcule as integrais definidas abaixo, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
(f) integral0^pi3(sen^4 x cos x) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição que simplifique a integral. Vamos definir:
u = sin x
Então, a derivada de du = cos x , dx em relação a é:
Isso significa que .

Passo 3

Agora, substituímos na integral original:
integral0^pi3 sin^4 x cos x , dx = integralu(0)^u(pi3) u^4 , du
Calculando os novos limites de integração:
  • Quando u = sin 0 = 0 : u = sin (pi3) = raiz32
  • Quando integral0^raiz32 u^4 , du :
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de integral u^4 , du = u^55 + C :
u^55 |0^raiz32 = (raiz32)^55 - 0^55
Aplicando os limites de integração:
(raiz32)^55 = 3^522^5 cdot 5 = 9raiz3160
Simplificando:

Resposta

A integral definida é igual a .

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