Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 anos, foi detectado que 0,043 % da quantidade inicial A0 de urânio se desintegrou. Encontre a meia-vida desse isótopo se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente.

Passo 1

Beleza! Vamos lá entender o que a questão está pedindo. Temos um reator que está transformando urânio-238 em plutônio-239. Depois de 15 anos, descobrimos que 0,043% da quantidade inicial de urânio se desintegrou. O que a gente precisa encontrar é a meia-vida desse isótopo, ou seja, o tempo que leva para metade da quantidade de urânio se desintegrar. Para resolver isso, vamos usar a física de radioatividade, especificamente a lei de decaimento exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a lei do decaimento exponencial. A quantidade de uma substância radioativa que resta após um certo tempo é dada pela fórmula:
Aqui:
  • é a quantidade restante após o tempo ,
  • é a quantidade inicial,
  • é a constante de decaimento,
  • é a base do logaritmo natural.

Passo 3

A questão nos diz que após 15 anos, 0,043% do urânio se desintegrou. Isso significa que 99,957% do urânio ainda resta. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Podemos simplificar dos dois lados:

Passo 4

Agora, vamos resolver para . Para isso, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
Calculando o logaritmo:
(Nota: é aproximadamente -0,00043)

Passo 5

Isolando :

Passo 6

Agora, para encontrar a meia-vida ( ), usamos a relação entre a meia-vida e a constante de decaimento:
Substituindo o valor de :

Resposta

A meia-vida do isótopo é aproximadamente 24.100 anos.

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