Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 anos, foi detectado que
da quantidade inicial
de urânio se desintegrou. Encontre a meia-vida desse isótopo se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente.
Passo 1
Beleza! Vamos lá entender o que a questão está pedindo. Temos um reator que está transformando urânio-238 em plutônio-239. Depois de 15 anos, descobrimos que 0,043% da quantidade inicial de urânio se desintegrou. O que a gente precisa encontrar é a meia-vida desse isótopo, ou seja, o tempo que leva para metade da quantidade de urânio se desintegrar. Para resolver isso, vamos usar a física de radioatividade, especificamente a lei de decaimento exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a lei do decaimento exponencial. A quantidade de uma substância radioativa que resta após um certo tempo é dada pela fórmula:
Aqui:
-
é a quantidade restante após o tempo , -
é a quantidade inicial, -
é a constante de decaimento, -
é a base do logaritmo natural.
Passo 3
A questão nos diz que após 15 anos, 0,043% do urânio se desintegrou. Isso significa que 99,957% do urânio ainda resta. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
. Para isso, aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
Calculando o logaritmo:
(Nota:
é aproximadamente -0,00043)
Passo 5
Isolando
:
Passo 6
Agora, para encontrar a meia-vida (
), usamos a relação entre a meia-vida e a constante de decaimento:
Substituindo o valor de
:
Resposta
A meia-vida do isótopo é aproximadamente 24.100 anos.
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(a)
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e
.
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