Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta da região delinnitada pelas curvas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando giramos a região delimitada pelas curvas e em torno da reta . Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis (também conhecido como método das lavadoras). Vamos precisar saber onde as duas curvas se encontram e montar uma integral para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as curvas e se interceptam. Igualando as duas equações:
Então, as soluções são e . Isso significa que a região que vamos girar está entre e .
Passo 3
Agora, vamos visualizar o sólido. Como estamos girando em torno da reta , que está acima das curvas, vamos usar o método dos anéis. A ideia é calcular a diferença entre o volume do anel externo e o interno em cada fatia de .
Passo 4
Para isso, precisamos expressar as distâncias das curvas até a reta . A distância de uma curva até é .
Para :
Para :
Passo 5
A área de cada anel é dada pela diferença das áreas dos discos externo e interno:
Substituindo e :
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão da área:
Expandindo os quadrados:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar essa área de a para encontrar o volume:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Então:
Passo 9
Calculando os limites de 0 a 1:
Simplificando:
Parece que houve um erro; o volume não pode ser negativo. Vamos revisar os limites das funções.
Passo 10
Ops, percebi que inverti as funções na distância. Na verdade, está acima de entre 0 e 1. Então, o anel externo é e o interno é . Vamos refazer a área: