Encontre o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta y = 2 da região delinnitada pelas curvas y = x e y = x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando giramos a região delimitada pelas curvas e em torno da reta . Para isso, vamos usar o método dos discos ou anéis (também conhecido como método das lavadoras). Vamos precisar saber onde as duas curvas se encontram e montar uma integral para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as curvas e se interceptam. Igualando as duas equações:
Então, as soluções são e . Isso significa que a região que vamos girar está entre e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar o sólido. Como estamos girando em torno da reta , que está acima das curvas, vamos usar o método dos anéis. A ideia é calcular a diferença entre o volume do anel externo e o interno em cada fatia de .

Passo 4

Para isso, precisamos expressar as distâncias das curvas até a reta . A distância de uma curva até é .
  • Para :
  • Para :

Passo 5

A área de cada anel é dada pela diferença das áreas dos discos externo e interno:
Substituindo e :

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão da área:
Expandindo os quadrados:
Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar essa área de a para encontrar o volume:

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Então:

Passo 9

Calculando os limites de 0 a 1:
Simplificando:
Parece que houve um erro; o volume não pode ser negativo. Vamos revisar os limites das funções.

Passo 10

Ops, percebi que inverti as funções na distância. Na verdade, está acima de entre 0 e 1. Então, o anel externo é e o interno é . Vamos refazer a área:
Expandindo:

Passo 11

Agora, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Então:

Passo 12

Calculando os limites de 0 a 1:
Simplificando:
Transformando para frações com denominador 15:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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