Calcule as integrais definidas abaixo, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
(a) integral0^pi2(sen x+cos x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. A gente tem que calcular . Para isso, vamos precisar expandir o quadrado e usar algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado . Isso fica assim:
Agora, a gente sabe que (essa é uma identidade trigonométrica fundamental). Então, podemos simplificar a expressão.

Passo 3

Substituindo a identidade trig trigonométrica na expressão expandida, temos:
Assim, a integral original fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de 1 em relação a integral 2sen x cos x , dx = sen^2x é x + sen^2x . Já a integral de pode ser resolvida usando uma substituição simples ou reconhecendo que , mas aqui vou mostrar de forma direta:
Então, juntando tudo, a antiderivada é:

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para avaliar a antiderivada nos limites de integração e subtrair:
Sabemos que e , então:
( x + sen^2x ) |0^pi2 = ( pi2 + sen^2(pi2) ) - ( 0 + sen^2(0) )

Resposta

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