Calcule as integrais definidas abaixo, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo. A gente tem que calcular . Para isso, vamos precisar expandir o quadrado e usar algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o quadrado . Isso fica assim:
Agora, a gente sabe que (essa é uma identidade trigonométrica fundamental). Então, podemos simplificar a expressão.
Passo 3
Substituindo a identidade trig trigonométrica na expressão expandida, temos:
Assim, a integral original fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de 1 em relação a
é
. Já a integral de pode ser resolvida usando uma substituição simples ou reconhecendo que , mas aqui vou mostrar de forma direta:
Então, juntando tudo, a antiderivada é:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para avaliar a antiderivada nos limites de integração e subtrair:
Sabemos que e , então:
Resposta
Exercícios relacionados
Inicialmente, 50 g de sal são dissolvidos em um tanque contendo 300 litros de água. Uma solução salina é bombeada para dentro do tanque com uma vazão de 3 litros por minuto, e a solução bem misturada é então drenada na mesma vazão. Se a concentração da solução que entra é
por litro, determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante. Quantos gramas de sal está presente após 50 minutos? E depois de um longo tempo? Esboce a solução graficamente.
Obtenha a solução para a equação abaixo, que governa reações químicas de segunda ordem.
Calcule as integrais definidas abaixo, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo:
(f)
(f)
Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 anos, foi detectado que
da quantidade inicial
de urânio se desintegrou. Encontre a meia-vida desse isótopo se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente.