Calcule as integrais definidas:
(b) integral0^pi sen^2 x cos 3 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral e funções trigonométricas. Para resolver essa integral, vamos precisar usar identidades trigonométricas que nos ajudarão a simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos utilizar a identidade trigonométrica para sin^2x = 1 - cos 2x2 :
integral0^pi sin^2x cos 3x , dx = integral0^pi ( 1 - cos 2x2 ) cos 3x , dx
Substituindo essa identidade na integral, temos:

Passo 3

Vamos distribuir o = 12 integral0^pi cos 3x , dx - 12 integral0^pi cos 2x cos 3x , dx dentro dos parênteses:

Passo 4

Agora, para resolver a integral cos A cos B = cos(A + B) + cos(A - B)2 , vamos usar a identidade do produto para cossenos:
cos 2x cos 3x = cos 5x + cos x2
Aplicando essa identidade com e :

Passo 5

Substituindo de volta na integral original:
12 integral0^pi cos 3x , dx - 12 cdot 12 integral0^pi (cos 5x + cos x) , dx = 12 integral0^pi cos 3x , dx - 14 integral0^pi cos 5x , dx - 14 integral0^pi cos x , dx

Passo 6

Vamos calcular cada integral individualmente. Sabemos que:
integral cos nx , dx = sin nxn
Então:
12 [ sin 3x3 ]0^pi - 14 [ sin 5x5 ]0^pi - 14 [ sin x ]0^pi

Passo 7

Agora, avaliamos cada termo nos limites de sin 3pi = 0, sin 5pi = 0, sin pi = 0 a sin 0 = 0 :
Para :
Para :

Passo 8

Substituindo os valores dos limites:
12 ( 0 - 03 ) - 14 ( 0 - 05 ) - 14 (0 - 0) = 0

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados