Encontrar a função f tal que:
(b) integral(x^2+1) cdot f^prime(x) d x=x^2+c e f(0)=32

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a função integral (x^2 + 1) cdot f^prime(x) , dx = x^2 + c que satisfaz a equação
e também sabemos que . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral e derivadas. Precisaremos usar técnicas de integração e propriedades das derivadas para encontrar .

Passo 2

Primeiramente, vamos entender a equação dada:
integral (x^2 + 1) cdot f^prime(x) , dx = x^2 + c
A integral do lado esquerdo envolve , que é a derivada de . Para simplificar, podemos usar a regra de integração por partes, mas antes vamos reorganizar a equação para facilitar.

Passo 3

Sabemos que integrar uma função multiplicada por sua derivada pode ser simplificado. Vamos reescrever a equação:
integral (x^2 + 1) cdot f^prime(x) , dx = x^2 + c
Isso sugere que:
(x^2 + 1) cdot f(x) = x^2 + c
Aqui, assumimos que é a antiderivada de .

Passo 4

Agora, vamos isolar f(x) = x^2 + cx^2 + 1 :
Mas ainda não sabemos o valor de . Para descobrir , usamos a condição inicial que nos foi dada: .

Passo 5

Substituindo f(0) = 0^2 + c0^2 + 1 = c1 = c na expressão de c = 32 :
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora que encontramos f(x) = x^2 + 32x^2 + 1 , substituímos de volta na expressão de :

Resposta

A função f(x) = x^2 + 32x^2 + 1 que satisfaz as condições dadas é:

Exercícios relacionados