Encontrar a função
tal que:
(b)
e
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a função
que satisfaz a equação
e também sabemos que
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral e derivadas. Precisaremos usar técnicas de integração e propriedades das derivadas para encontrar
.
Passo 2
Primeiramente, vamos entender a equação dada:
A integral do lado esquerdo envolve
, que é a derivada de
. Para simplificar, podemos usar a regra de integração por partes, mas antes vamos reorganizar a equação para facilitar.
Passo 3
Sabemos que integrar uma função multiplicada por sua derivada pode ser simplificado. Vamos reescrever a equação:
Isso sugere que:
Aqui, assumimos que
é a antiderivada de
.
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Mas ainda não sabemos o valor de
. Para descobrir
, usamos a condição inicial que nos foi dada:
.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora que encontramos
, substituímos de volta na expressão de
:
Resposta
A função
que satisfaz as condições dadas é:
Exercícios relacionados
Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável
e com integrações na variável
. Escolha uma das maneiras e calcule a área.
(a) e
.
(a)
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
§ e
.
§
A equação da reta tangente a uma curva no ponto
é
. Sabendo que em um ponto
qualquer da curva
(
constante), encontrar a equação dessa curva.
Calcule as integrais definidas:
(b)
(b)