Encontrar a função tal que:
(b) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar a função que satisfaz a equação
e também sabemos que . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral e derivadas. Precisaremos usar técnicas de integração e propriedades das derivadas para encontrar .

Passo 2

Primeiramente, vamos entender a equação dada:
A integral do lado esquerdo envolve , que é a derivada de . Para simplificar, podemos usar a regra de integração por partes, mas antes vamos reorganizar a equação para facilitar.

Passo 3

Sabemos que integrar uma função multiplicada por sua derivada pode ser simplificado. Vamos reescrever a equação:
Isso sugere que:
Aqui, assumimos que é a antiderivada de .

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Mas ainda não sabemos o valor de . Para descobrir , usamos a condição inicial que nos foi dada: .

Passo 5

Substituindo na expressão de :
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora que encontramos , substituímos de volta na expressão de :

Resposta

A função que satisfaz as condições dadas é:

Exercícios relacionados

Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável e com integrações na variável . Escolha uma das maneiras e calcule a área.
(a) e .
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
§ e .
A equação da reta tangente a uma curva no ponto é . Sabendo que em um ponto qualquer da curva ( constante), encontrar a equação dessa curva.
Calcule as integrais definidas:
(b)