Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(e) e .

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um problema de geometria analítica onde precisamos encontrar a área da região no plano que está limitada pelas curvas , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integração, para calcular a área entre essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde essas curvas se encontram. Isso é importante porque esses pontos vão determinar os limites de integração para calcular a área.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre e :
Então, o ponto de interseção é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos de interseção entre e :
Como deve ser positivo para fazer sentido no contexto, consideramos . Então, o ponto de interseção é .

Passo 5

Por último, encontramos a interseção entre e :
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 6

Com os pontos de interseção identificados, podemos visualizar que a região é limitada entre e . Vamos dividir a área em duas partes para facilitar o cálculo:
  1. De a , a curva superior é e a curva inferior é .
  2. De a , a curva superior é e a curva inferior é .

Passo 7

Agora, vamos calcular a área de cada uma dessas partes usando integrais:
  1. Primeira parte ( ):
  1. Segunda parte ( ):

Passo 8

Vamos calcular :

Passo 9

Agora, vamos calcular :

Passo 10

Somando as duas áreas:

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais definidas:
(g)
Calcule as integrais definidas:
(b)
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(h) e .
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(m) e .