Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(e) e .
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um problema de geometria analítica onde precisamos encontrar a área da região no plano que está limitada pelas curvas , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integração, para calcular a área entre essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde essas curvas se encontram. Isso é importante porque esses pontos vão determinar os limites de integração para calcular a área.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre e :
Então, o ponto de interseção é .
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção entre e :
Como deve ser positivo para fazer sentido no contexto, consideramos . Então, o ponto de interseção é .
Passo 5
Por último, encontramos a interseção entre e :
Portanto, o ponto de interseção é .
Passo 6
Com os pontos de interseção identificados, podemos visualizar que a região é limitada entre e . Vamos dividir a área em duas partes para facilitar o cálculo:
De a , a curva superior é e a curva inferior é .
De a , a curva superior é e a curva inferior é .
Passo 7
Agora, vamos calcular a área de cada uma dessas partes usando integrais: