Calcule as integrais definidas:
(g) integral-pi^pi sen x cos x d x

Passo 1

Beleza, então a gente precisa calcular a integral definida de sen x cos x de -pi até pi. Isso está dentro da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo técnicas de integração e identidades trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender algumas fórmulas de trigonometria e a regra de integração por substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão sen x cos x usando uma identidade trigonométrica. Sabia que a multiplicação de seno e cosseno pode ser expressa de outra forma? Sim! A identidade é:
sen x cos x = 12 sen(2x)
Isso ajuda a tornar a integração mais fácil.

Passo 3

Agora, substituímos na integral original:
integral-pi^pi sen x cos x , dx = integral-pi^pi 12 sen(2x) , dx = 12 integral-pi^pi sen(2x) , dx

Passo 4

Vamos calcular a integral de sen(2x) de -pi a pi. Sabemos que a integral de sen(kx) é:
integral sen(kx) , dx = -1k cos(kx) + C
No nosso caso, k = 2, então:
integral sen(2x) , dx = -12 cos(2x) + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração:
12 [ -12 cos(2x) ]-pi^pi = 12 ( -12 cos(2pi) + 12 cos(-2pi) )
Lembrando que cos(2pi) = cos(-2pi) = 1.

Passo 6

Substituindo os valores:
12 ( -12 times 1 + 12 times 1 ) = 12 ( -12 + 12 ) = 12 times 0 = 0

Resposta

A integral definida integral-pi^pi sen x cos x , dx é igual a 0.

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