A equação da reta tangente a uma curva no ponto é . Sabendo que em um ponto qualquer da curva ( constante), encontrar a equação dessa curva.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva com uma reta tangente no ponto que é dada por . Além disso, sabemos que a derivada da função que define essa curva é , onde é uma constante que precisamos descobrir. Nosso objetivo é encontrar a equação completa dessa curva .

Passo 2

Sabemos que a reta tangente a uma curva em um ponto tem a mesma inclinação que a derivada da curva nesse ponto. Ou seja, a inclinação da reta tangente é igual a no ponto .

Passo 3

Vamos calcular substituindo na expressão da derivada:

Passo 4

Sabemos que a inclinação da reta tangente é -3 (do enunciado ). Portanto, podemos igualar a derivada ao valor da inclinação:

Passo 5

Resolvendo para :

Passo 6

Agora que encontramos , podemos escrever a expressão completa da derivada:

Passo 7

Para encontrar a equação da curva , precisamos integrar a derivada :

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 9

Para determinar a constante de integração , usamos o ponto dado que está na curva:

Passo 10

Substituindo na expressão de :

Resposta

A equação da curva é .

Exercícios relacionados

Encontrar a função tal que:
(b) e
Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável e com integrações na variável . Escolha uma das maneiras e calcule a área.
(a) e .
Calcule as integrais definidas:
(b)
Calcule as integrais definidas:
(g)