A equação da reta tangente a uma curva no ponto -1,2 é y = -3 x + 2. Sabendo que em um ponto (x, y) qualquer da curva f'(x) = 3 x^2 + 2 x + b ( b constante), encontrar a equação dessa curva.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva com uma reta tangente no ponto que é dada por . Além disso, sabemos que a derivada da função que define essa curva é , onde é uma constante que precisamos descobrir. Nosso objetivo é encontrar a equação completa dessa curva .

Passo 2

Sabemos que a reta tangente a uma curva em um ponto tem a mesma inclinação que a derivada da curva nesse ponto. Ou seja, a inclinação da reta tangente é igual a no ponto .

Passo 3

Vamos calcular substituindo na expressão da derivada:

Passo 4

Sabemos que a inclinação da reta tangente é -3 (do enunciado ). Portanto, podemos igualar a derivada ao valor da inclinação:

Passo 5

Resolvendo para :

Passo 6

Agora que encontramos , podemos escrever a expressão completa da derivada:

Passo 7

Para encontrar a equação da curva , precisamos integrar a derivada :

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 9

Para determinar a constante de integração , usamos o ponto dado que está na curva:

Passo 10

Substituindo na expressão de :

Resposta

A equação da curva é .

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