A equação da reta tangente a uma curva no ponto
é
. Sabendo que em um ponto
qualquer da curva
(
constante), encontrar a equação dessa curva.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva com uma reta tangente no ponto
que é dada por
. Além disso, sabemos que a derivada da função que define essa curva é
, onde
é uma constante que precisamos descobrir. Nosso objetivo é encontrar a equação completa dessa curva
.
Passo 2
Sabemos que a reta tangente a uma curva em um ponto tem a mesma inclinação que a derivada da curva nesse ponto. Ou seja, a inclinação da reta tangente é igual a
no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular
substituindo
na expressão da derivada:
Passo 4
Sabemos que a inclinação da reta tangente é -3 (do enunciado
). Portanto, podemos igualar a derivada ao valor da inclinação:
Passo 5
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que encontramos
, podemos escrever a expressão completa da derivada:
Passo 7
Para encontrar a equação da curva
, precisamos integrar a derivada
:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 9
Para determinar a constante de integração
, usamos o ponto dado
que está na curva:
Passo 10
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A equação da curva é
.
Exercícios relacionados
Encontrar a função
tal que:
(b) e
(b)
Nos itens a seguir expresse a área das regiões limitadas pelas curvas dadas. Faça isso de duas maneiras, com integrações na variável
e com integrações na variável
. Escolha uma das maneiras e calcule a área.
(a) e
.
(a)
Calcule as integrais definidas:
(b)
(b)
Calcule as integrais definidas:
(g)
(g)