Calcule as integrais definidas
(b) integral1^2 5x^9 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar a antiderivada de funções do tipo e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função 5x^9 = 5x^-9 de uma forma que facilite a integração. Sabemos que , então podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada de integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (para n neq -1) . Lembra que, para integrar , usamos a regra:
Aqui, , então vamos aplicar essa regra.

Passo 4

Aplicando a regra, temos:
integral 5x^-9 , dx = 5 cdot x^-9 + 1-9 + 1 + C = 5 cdot x^-8-8 + C = -58x^-8 + C
Isso significa que a antiderivada de é .

Passo 5

Agora, para calcular a integral definida de 1 a 2, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
onde é a antiderivada de .

Passo 6

Vamos calcular F(2) = -58(2)^-8 = -58 cdot 1256 = -52048 e F(1) = -58(1)^-8 = -58 cdot 1 = -58 :

Passo 7

Subtraindo F(2) - F(1) = (-52048) - (-58) = -52048 + 58 de 58 = 5 times 2568 times 256 = 12802048 :
-52048 + 12802048 = 12752048
Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum, que é 2048:
Então:

Resposta

A integral definida é igual a .

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