Nos itens abaixo encontre a curva característica e uma forma canônica para cada equação
partial^2 upartial x^2-(1+x^2)^2 partial^2 upartial y^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a curva característica e uma forma canônica para a equação diferencial dada:
partial^2 upartial x^2 - (1+x^2)^2 partial^2 upartial y^2 = 0
Estamos lidando com uma equação diferencial parcial de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações de segunda ordem e suas características, que nos ajudam a classificar a equação e encontrar soluções mais simples. Vamos precisar usar a teoria das características para identificar curvas especiais onde a equação se simplifica, além de transformar a equação para uma forma canônica mais fácil de trabalhar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes gerais da nossa equação. A forma geral de uma equação diferencial parcial de segunda ordem é:
A partial^2 upartial x^2 + B partial^2 upartial x partial y + C partial^2 upartial y^2 + termos de primeira ordem e zeroth = 0
No nosso caso, comparando com a equação dada:
  • (não temos termo misto)

Passo 3

Agora, vamos calcular o discriminante De que nos ajuda a classificar a equação. O discriminante é dado por:
De
Substituindo nossos valores:
Como para todo , sabemos que nossa equação é do tipo hiperbólica. Isso significa que existem duas curvas características reais e distintas.

Passo 4

As curvas características para uma equação hiperbólica são encontradas resolvendo a equação característica associada:
A (dydx)^2 - B dydx + C = 0
No nosso caso:
1 (dydx)^2 + 0 (dydx) - (1+x^2)^2 = 0
Isso simplifica para:
(dydx)^2 = (1+x^2)^2

Passo 5

Vamos resolver para dydx = pm (1+x^2) :
Isso nos dá duas equações diferenciais para as curvas características:

Passo 6

Vamos integrar essas equações para encontrar as curvas características.
Para y = integral (1 + x^2) dx = x + x^33 + C :
y = -integral (1 + x^2) dx = -x - x^33 + C
Para :
Então, as curvas características são:

Passo 7

Agora, vamos transformar a equação original para uma forma canônica. Para equações hiperbólicas, a forma canônica geralmente envolve xi = y - (x + x^33) e eta = y + (x + x^33) que são combinações lineares de e baseadas nas características.
Definimos:
Essas novas coordenadas alinham as direções das características com os eixos e .

Passo 8

Substituindo partial^2 upartial xi partial eta = 0 e u(xi, eta) = F(xi) + G(eta) na equação original e simplificando, a equação se transforma em:
Essa é a forma canônica da nossa equação original. Ela é muito mais simples e indica que a solução geral pode ser expressa como a soma de funções que dependem apenas de e :

Resposta

As curvas características são e . A forma canônica da equação é , onde e .

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Classifique as equações diferenciais parciais abaixo em hiperbólica, parabólica ou elíptica
x partial^2 upartial x^2+2 x partial^2 upartial x partial y+x partial^2 upartial y^2=partial upartial x+partial upartial y
Use o método de separação de variáveis para encontrar uma solução particular para as seguintes equações
partial upartial x+3 partial upartial y=0
Calcule as integrais definidas
(b) integral1^2 5x^9 d x
Use o método de separação de variáveis para encontrar uma solução particular para as seguintes equações
y partial upartial x+x partial upartial y=0