Nos itens abaixo encontre a curva característica e uma forma canônica para cada equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a curva característica e uma forma canônica para a equação diferencial dada:
Estamos lidando com uma equação diferencial parcial de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações de segunda ordem e suas características, que nos ajudam a classificar a equação e encontrar soluções mais simples. Vamos precisar usar a teoria das características para identificar curvas especiais onde a equação se simplifica, além de transformar a equação para uma forma canônica mais fácil de trabalhar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes gerais da nossa equação. A forma geral de uma equação diferencial parcial de segunda ordem é:
No nosso caso, comparando com a equação dada:
-
-
(não temos termo misto) -
Passo 3
Agora, vamos calcular o discriminante
que nos ajuda a classificar a equação. O discriminante é dado por:
Substituindo nossos valores:
Como
para todo
, sabemos que nossa equação é do tipo hiperbólica. Isso significa que existem duas curvas características reais e distintas.
Passo 4
As curvas características para uma equação hiperbólica são encontradas resolvendo a equação característica associada:
No nosso caso:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos resolver para
:
Isso nos dá duas equações diferenciais para as curvas características:
Passo 6
Vamos integrar essas equações para encontrar as curvas características.
Para
:
Para
:
Então, as curvas características são:
Passo 7
Agora, vamos transformar a equação original para uma forma canônica. Para equações hiperbólicas, a forma canônica geralmente envolve
e
que são combinações lineares de
e
baseadas nas características.
Definimos:
Essas novas coordenadas alinham as direções das características com os eixos
e
.
Passo 8
Substituindo
e
na equação original e simplificando, a equação se transforma em:
Essa é a forma canônica da nossa equação original. Ela é muito mais simples e indica que a solução geral pode ser expressa como a soma de funções que dependem apenas de
e
:
Resposta
As curvas características são
e
. A forma canônica da equação é
, onde
e
.
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