Use o método de separação de variáveis para encontrar uma solução particular para as seguintes equações
y partial upartial x+x partial upartial y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial parcial usando o método de separação de variáveis. O enunciado que temos é:
y partial upartial x + x partial upartial y = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação que envolve derivadas parciais de uma função . Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis e para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
y ux + x uy = 0
Onde representa a derivada parcial de em relação a , e em relação a .

Passo 3

O próximo passo é aplicar o método de separação de variáveis. Para isso, assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de funções dependentes apenas de u(x, y) = X(x) Y(y) e :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de ux = dXdx Y(y) uy = X(x) dYdy :

Passo 5

Substituímos essas derivadas na equação original:
y ( dXdx Y(y) ) + x ( X(x) dYdy ) = 0
Simplificando:
y Y(y) dXdx + x X(x) dYdy = 0

Passo 6

Vamos dividir ambos os lados por yX(x) dXdx + xY(y) dYdy = 0 :
1X(x) dXdx = -xy 1Y(y) dYdy
Isso nos dá:

Passo 7

Observe que o lado esquerdo depende apenas de 1X(x) dXdx = k -xy 1Y(y) dYdy = k e o lado direito apenas de . Para que a igualdade seja válida para todos os e , ambos os lados devem ser iguais a uma constante, digamos .
Então, temos duas equações:

Passo 8

Vamos resolver a primeira equação:
dXdx = k X(x)
Integrando ambos os lados:
integral dXX = integral k , dx ln |X| = kx + C X(x) = C e^kx
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Agora, resolvemos a segunda equação:
-xy dYdy = k Y(y) dYdy = -k yx Y(y)
Entretanto, aqui percebemos que há uma dependência mista de e , o que sugere que talvez precisemos reconsiderar a separação ou utilizar outro método, como as características.

Passo 10

Vamos aplicar o método das características para resolver a equação:
y dudx + x dudy = 0
As equações das características são:
dxy = dyx = du0

Passo 11

Primeiro, resolvemos x , dx = y , dy :
Multiplicando cruzado:
x^22 = y^22 + C x^2 - y^2 = C
Integrando ambos os lados:

Passo 12

Agora, da última igualdade , concluímos que é constante ao longo das características, ou seja, , onde .

Passo 13

Portanto, a solução geral é:
u(x, y) = f(x^2 - y^2)
Para uma solução particular, podemos escolher uma função específica para u(x, y) = x^2 - y^2 . Por exemplo, se escolhermos , então:

Resposta

Uma solução particular para a equação dada é:
u(x, y) = x^2 - y^2

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