Use o método de separação de variáveis para encontrar uma solução particular para as seguintes equações
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial parcial usando o método de separação de variáveis. O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação que envolve derivadas parciais de uma função
. Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis
e
para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a visualização:
Onde
representa a derivada parcial de
em relação a
, e
em relação a
.
Passo 3
O próximo passo é aplicar o método de separação de variáveis. Para isso, assumimos que a solução pode ser escrita como um produto de funções dependentes apenas de
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 5
Substituímos essas derivadas na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Vamos dividir ambos os lados por
:
Isso nos dá:
Passo 7
Observe que o lado esquerdo depende apenas de
e o lado direito apenas de
. Para que a igualdade seja válida para todos os
e
, ambos os lados devem ser iguais a uma constante, digamos
.
Então, temos duas equações:
Passo 8
Vamos resolver a primeira equação:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Agora, resolvemos a segunda equação:
Entretanto, aqui percebemos que há uma dependência mista de
e
, o que sugere que talvez precisemos reconsiderar a separação ou utilizar outro método, como as características.
Passo 10
Vamos aplicar o método das características para resolver a equação:
As equações das características são:
Passo 11
Primeiro, resolvemos
:
Multiplicando cruzado:
Integrando ambos os lados:
Passo 12
Agora, da última igualdade
, concluímos que
é constante ao longo das características, ou seja,
, onde
.
Passo 13
Portanto, a solução geral é:
Para uma solução particular, podemos escolher uma função específica para
. Por exemplo, se escolhermos
, então:
Resposta
Uma solução particular para a equação dada é:
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(b)
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(e)
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e
, quando