Classifique as equações diferenciais parciais abaixo em hiperbólica, parabólica ou elíptica
x partial^2 upartial x^2+2 x partial^2 upartial x partial y+x partial^2 upartial y^2=partial upartial x+partial upartial y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou uma equação diferencial parcial e quer saber se ela é hiperbólica, parabólica ou elíptica. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais parciais, onde classificamos as equações para entender melhor o tipo de soluções que podemos esperar. Para resolver isso, vamos precisar identificar os coeficientes das derivadas de segunda ordem e calcular o discriminante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar claramente os termos de segunda ordem:
x partial^2 upartial x^2 + 2x partial^2 upartial x partial y + x partial^2 upartial y^2 = partial upartial x + partial upartial y
Aqui, os coeficientes das derivadas de segunda ordem são:
  • (para )
  • (para )
  • (para )

Passo 3

Agora, para classificar a equação, usamos o discriminante D = B^2 - AC , que é calculado assim:
D = x^2 - (x)(x) = x^2 - x^2 = 0
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 4

Com o valor do discriminante, podemos classificar a equação:
  • Se : Equação é hiperbólica
  • Se : Equação é parabólica
  • Se : Equação é elíptica
No nosso caso, , então a equação é parabólica.

Resposta

A equação diferencial parcial é parabólica.

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