Calcule as integrais definidas
(e) integral-2^3 x^2|x-1| d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com funções polinomiais e valor absoluto. Para resolver, precisamos entender onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal, ou seja, onde .

Passo 2

Primeiro, encontramos o ponto onde . Isso acontece quando . Então, vamos dividir a integral em duas partes: de até e de até , porque o comportamento de muda nesses intervalos.

Passo 3

Para integral-2^3 x^2|x-1| dx = integral-2^1 x^2(-(x - 1)) dx + integral1^3 x^2(x - 1) dx , é negativo, então . E para , é positivo, então . Assim, podemos reescrever a integral:

Passo 4

Simplificamos as expressões dentro das integrais:
integral-2^1 -x^3 + x^2 dx + integral1^3 x^3 - x^2 dx

Passo 5

Agora, integramos cada termo separadamente. Lembre-se que a integral de integral-2^1 (-x^3 + x^2) dx = [-x^44 + x^33]-2^1 é integral1^3 (x^3 - x^2) dx = [x^44 - x^33]1^3 .
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:

Passo 6

Calculamos os valores nos limites de integração.
Primeira parte:
Para -1^44 + 1^33 = -14 + 13 = -3 + 412 = 112 :
-(-2)^44 + (-2)^33 = -164 + -83 = -4 - 83 = -203
Para 112 - (-203) = 112 + 203 = 1 + 8012 = 8112 = 274 :
3^44 - 3^33 = 814 - 273 = 814 - 9 = 814 - 364 = 454
Então, a primeira integral é:
1^44 - 1^33 = 14 - 13 = 3 - 412 = -112
Segunda parte:
Para 454 - (-112) = 454 + 112 = 135 + 112 = 13612 = 343 :
Para :
Então, a segunda integral é:

Resposta

Somando as duas partes, temos:
274 + 343 = 81 + 13612 = 21712
Portanto, o valor da integral é .

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