Calcule as integrais definidas
© integral-1^0(4 x+7)^3 d x

Passo 1

Primeiro, vamos ver o que precisamos fazer. Temos que calcular a integral definida de (4x + 7)^3 no intervalo de -1 a 0. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que facilita a integração de funções mais complicadas.

Passo 2

Vamos escolher uma substituição para simplificar a integral. Seja u = 4x + 7. Agora, precisamos encontrar du em termos de dx.

Passo 3

Derivando u em relação a x, temos du/dx = 4. Então, du = 4,dx, o que significa que dx = du4.

Passo 4

Vamos substituir u e dx na integral original. Também precisamos ajustar os limites de integração para os valores de u correspondentes aos limites de x.
Quando x = -1, u = 4(-1) + 7 = 3.
Quando x = 0, u = 4(0) + 7 = 7.
Agora, a integral fica:
integral3^7 u^3 cdot du4

Passo 5

Podemos colocar a constante 14 fora da integral:
14 integral3^7 u^3 , du

Passo 6

Agora, vamos calcular a antiderivada de u^3. A antiderivada de u^3 é u^44.

Passo 7

Aplicamos os limites de integração na antiderivada:
14 [ u^44 ]3^7 = 14 ( 7^44 - 3^44 )

Passo 8

Calculando os valores:
7^4 = 2401 e 3^4 = 81, então:
14 ( 24014 - 814 ) = 14 cdot 23204 = 232016 = 145

Resposta

O valor da integral definida é 145.

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